ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Выразим ${\cos }^{2}x$ через синус по основному тригонометрическому тождеству ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:

$$\left|1-{\sin }^{2}x+2\sin x-2a\right|=1-{\sin }^{2}x+\sin x+2a.$$

Сделаем замену $t=\sin x$. На отрезке $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ синус возрастает, поэтому на промежутке $\left[-\frac{\pi }{2};0\right)$ он принимает каждое значение из промежутка $[-1;0)$ ровно один раз: от $\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$ включительно до $\sin 0=0$, которое не достигается, так как точка $x=0$ выколота. Значит, каждому корню $t\in [-1;0)$ соответствует ровно один корень $x\in \left[-\frac{\pi }{2};0\right)$, а корни $t$ вне этого промежутка корней на нём не дают.

Задача свелась к такой: найти все $a$, при которых уравнение

$$\left|1-t^2+2t-2a\right|=1-t^2+t+2a$$

имеет на промежутке $[-1;0)$ ровно один корень.

Модуль неотрицателен, поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной, а при неотрицательной правой части равенство $|A|=B$ означает, что $A=B$ или $A=-B$. Получаем равносильную систему:

$$\{\begin{array}{l}1-t^2+t+2a⩾0,\\ [\begin{array}{l}1-t^2+2t-2a=1-t^2+t+2a,\\ 1-t^2+2t-2a=-1+t^2-t-2a.\end{array}\end{array}$$

Решим уравнения совокупности. Первое: $2t-2a=t+2a$, откуда $t=4a$.

Второе после переноса слагаемых в одну сторону принимает вид

$$2t^2-3t-2=0,D=9+16=25,t=\frac{3\pm 5}{4},$$

то есть $t=2$ или $t=-\frac{1}{2}$.

Обозначим $B(t)=1-t^2+t+2a$. Итак, корни уравнения на промежутке $[-1;0)$ — это те из чисел $4a$, $-\frac{1}{2}$, $2$, которые лежат в $[-1;0)$ и удовлетворяют условию $B(t)⩾0$. Разберём каждое число.

Число $t=2$ не лежит в промежутке $[-1;0)$ ни при каком $a$, его отбрасываем.

Число $t=-\frac{1}{2}$ лежит в $[-1;0)$. Условие $B⩾0$:

$$B\left(-\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2a=\frac{1}{4}+2a⩾0\iff a⩾-\frac{1}{8}.$$

Число $t=4a$ лежит в $[-1;0)$ при $-1⩽4a<0$, то есть при $-\frac{1}{4}⩽a<0$. Условие $B⩾0$:

$$B(4a)=1-16a^2+4a+2a⩾0\iff 16a^2-6a-1⩽0.$$

Корни трёхчлена $16a^2-6a-1$: $D=36+64=100$, $a=\frac{6\pm 10}{32}$, то есть $a=\frac{1}{2}$ и $a=-\frac{1}{8}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен неположителен между корнями:

Получаем $-\frac{1}{8}⩽a⩽\frac{1}{2}$. Вместе с условием $-\frac{1}{4}⩽a<0$ это даёт: число $t=4a$ является корнем на $[-1;0)$ при $-\frac{1}{8}⩽a<0$.

Осталось учесть, что два подходящих числа могут совпасть: $4a=-\frac{1}{2}$ при $a=-\frac{1}{8}$.

Посчитаем число корней, разбив ось $a$ точками $-\frac{1}{8}$ и $0$.

При $a<-\frac{1}{8}$ не подходит ни $t=-\frac{1}{2}$ (нужно $a⩾-\frac{1}{8}$), ни $t=4a$ (нужно $a⩾-\frac{1}{8}$). Корней нет.

При $a=-\frac{1}{8}$ оба числа равны $-\frac{1}{2}$, и $B\left(-\frac{1}{2}\right)=0$, условие выполнено. Корень один: $t=-\frac{1}{2}$, то есть $x=-\frac{\pi }{6}$. Значение подходит.

При $-\frac{1}{8}<a<0$ подходят оба числа, и они различны. Корней два — не подходит.

При $a⩾0$ число $t=-\frac{1}{2}$ подходит, а $t=4a⩾0$ не лежит в $[-1;0)$. Корень один — подходит. Обратим внимание на $a=0$: тогда $t=4a=0$, но значение $\sin x=0$ на промежутке достигается только при $x=0$, а эта точка выколота.

Объединим найденные значения:

Ответ: $a\in \left\{-\frac{1}{8}\right\}\cup [0;+\infty )$.