ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $y=x+\frac{9}{x}$. Получим уравнение

$$a{y}^2+2y-64a+16=0.$$

Выясним, сколько значений $x$ соответствует данному $y$. Умножим равенство замены на $x\ne 0$:

$$x^2-yx+9=0,D=y^2-36.$$

Значение $x=0$ этому уравнению не удовлетворяет ($9\ne 0$), так что все его корни годятся. При $|y|>6$ получаем два различных $x$, при $|y|=6$ — один ($x=\pm 3$), при $|y|<6$ — ни одного. Разным $y$ соответствуют разные $x$, ведь каждое $x$ задаёт единственное $y$. Поэтому число корней исходного уравнения равно сумме вкладов всех корней $y$.

Случай $a=0$. Уравнение $2y+16=0$ даёт $y=-8$, $|y|>6$, — два корня $x$. Значение $a=0$ подходит.

Случай $a\ne 0$. Найдём дискриминант квадратного уравнения относительно $y$:

$$D=4-4a(16-64a)=256a^2-64a+4=(16a-2{)}^2.$$

Корни:

$$y_1=\frac{-2+(16a-2)}{2a}=\frac{8a-2}{a},y_2=\frac{-2-(16a-2)}{2a}=-8.$$

Корень $y=-8$ есть при любом $a$ и всегда даёт два корня $x$. Значит, ровно два корня исходного уравнения будет, если второй корень $y_1$ либо совпадает с $-8$, либо не даёт корней $x$.

Совпадение: $D=0$, то есть $a=\frac{1}{8}$. Тогда $y=-8$ — единственный корень, и исходное уравнение имеет два корня. Значение $a=\frac{1}{8}$ подходит.

Если $a\ne \frac{1}{8}$, нужно $|y_1|<6$, то есть $y_1^2-36<0$:

$$\left(\frac{8a-2}{a}-6\right)\left(\frac{8a-2}{a}+6\right)<0⟺\frac{2a-2}{a}\cdot \frac{14a-2}{a}<0⟺\frac{4(a-1)(7a-1)}{a^2}<0.$$

Решим методом интервалов.

Получаем $a\in \left(\frac{1}{7};1\right)$; значение $\frac{1}{8}<\frac{1}{7}$ сюда не попадает, так что условие $a\ne \frac{1}{8}$ выполнено. При $|y_1|=6$ корней было бы три, при $|y_1|>6$ и $y_1\ne -8$ — четыре.

Итак, ровно два корня уравнение имеет при $a=0$, $a=\frac{1}{8}$ и $a\in \left(\frac{1}{7};1\right)$.

Ответ: $a\in \left\{0;\frac{1}{8}\right\}\cup \left(\frac{1}{7};1\right)$.