ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и отличен от нуля, то есть подкоренное выражение положительно:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-a(a-1)x-a^3=0,\\ 3+2x-x^2>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{x}^2-a(a-1)x-a^3=0,\\ -1<x<3.\end{array}$$

Неравенство решено так: $x^2-2x-3<0$, $(x+1)(x-3)<0$.

Система имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда квадратное уравнение имеет два различных корня и оба лежат в интервале $(-1;3)$.

Рассмотрим функцию $y(x)=x^2-a(a-1)x-a^3$. Её график — парабола с ветвями вверх. Оба её нуля лежат в интервале $(-1;3)$ тогда и только тогда, когда выполнены четыре условия: дискриминант положителен, абсцисса вершины $x_0$ лежит в интервале, и в концах интервала функция положительна.

$$\{\begin{array}{l}D>0,\\ -1<x_0<3,\\ y(-1)>0,\\ y(3)>0.\end{array}$$

Распишем каждое условие.

Дискриминант:

$$D=a^2(a-1{)}^2+4a^3=a^2\left(a^2-2a+1+4a\right)=a^2(a+1{)}^2>0⟺a\ne 0,a\ne -1.$$

Вершина: $x_0=\frac{a(a-1)}{2}$, и

$$-1<\frac{a^2-a}{2}<3⟺\{\begin{array}{l}{a}^2-a+2>0,\\ a^2-a-6<0.\end{array}$$

Первое неравенство верно при всех $a$ (дискриминант $1-8<0$), второе даёт $(a+2)(a-3)<0$, то есть $-2<a<3$.

Значение в точке $-1$:

$$y(-1)=1+a^2-a-a^3=(1-a)+a^2(1-a)=(1-a)\left(1+a^2\right)>0⟺a<1.$$

Значение в точке $3$:

$$y(3)=9-3a^2+3a-a^3=-\left(a^2(a+3)-3(a+3)\right)=-(a+3)\left(a^2-3\right)>0⟺(a+3)\left(a-\sqrt{3}\right)\left(a+\sqrt{3}\right)<0.$$

Отсюда $a<-3$ или $-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$.

Пересечём все условия: $-2<a<3$, $a<1$, $a\in (-\infty ;-3)\cup \left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)$, $a\ne 0$, $a\ne -1$. Так как $-2<-\sqrt{3}$, получаем $-\sqrt{3}<a<1$ с выколотыми точками $-1$ и $0$.

Проверка. Дискриминант оказался полным квадратом, поэтому корни находятся явно: $x=\frac{a(a-1)\pm a(a+1)}{2}$, то есть $x=a^2$ и $x=-a$. Условия $-1<a^2<3$, $-1<-a<3$ и $a^2\ne -a$ дают тот же ответ.

Ответ: $a\in \left(-\sqrt{3};-1\right)\cup (-1;0)\cup (0;1)$.