ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Первое уравнение. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а корень при этом определён:

$$[\begin{array}{l}x-y+8=0,\\ \{\begin{array}{l}y=x^2-7x+8,\\ x-y+8⩾0.\end{array}\end{array}$$

Первая строка задаёт прямую $L:y=x+8$ (на ней корень равен нулю, ОДЗ выполнено).

Вторая строка задаёт часть параболы $y=x^2-7x+8$, лежащую не выше прямой $y=x+8$:

$$x^2-7x+8⩽x+8⟺x^2-8x⩽0⟺0⩽x⩽8.$$

Это дуга $P$ параболы от точки $A(0;8)$ до точки $B(8;16)$; обе точки лежат и на прямой $L$.

Второе уравнение $y=a(x+1)$ задаёт прямую $\ell$, проходящую через точку $C(-1;0)$ с угловым коэффициентом $a$. Число решений системы равно числу различных общих точек прямой $\ell$ с множеством $L\cup P$.

Пересечение $\ell$ с прямой $L$: $a(x+1)=x+8$, то есть $(a-1)x=8-a$. При $a\ne 1$ точка одна: $x=\frac{8-a}{a-1}$. При $a=1$ прямые параллельны и различны — общих точек нет.

Пересечение $\ell$ с дугой $P$: нужны корни уравнения

$$\phi (x)=x^2-(7+a)x+8-a=0$$

на отрезке $[0;8]$. Найдём нужные величины:

$$D=(7+a{)}^2-4(8-a)=a^2+18a+17=(a+1)(a+17),\phi (0)=8-a,\phi (8)=16-9a,x_{\text{в}}=\frac{7+a}{2}.$$

Разберём расположение корней.

При $a⩽-17$ корни есть, но $x_{\text{в}}⩽-5<0$ и $\phi (0)>0$, поэтому оба корня отрицательны — на дуге точек нет. При $-17<a<-1$ имеем $D<0$ — точек нет.

При $a=-1$ получаем $(x-3{)}^2=0$, $x=3\in [0;8]$: прямая $y=-x-1$ касается дуги в точке $T(3;-4)$.

При $-1<a<\frac{16}{9}$ имеем $D>0$, $\phi (0)>0$, $\phi (8)>0$ и $0<x_{\text{в}}<8$, поэтому оба корня лежат внутри отрезка — две точки.

При $a=\frac{16}{9}$ имеем $\phi (8)=0$, то есть $x=8$ (точка $B$), а второй корень по теореме Виета равен $\frac{8-a}{8}=\frac{7}{9}\in [0;8]$ — две точки.

При $\frac{16}{9}<a<8$ имеем $\phi (0)>0>\phi (8)$ — ровно один корень на отрезке.

При $a=8$ имеем $\phi (0)=0$, то есть $x=0$ (точка $A$), второй корень $7+a-0=15>8$ — одна точка.

При $a>8$ имеем $\phi (0)<0$ и $\phi (8)<0$ — оба корня вне отрезка, точек нет.

Общие точки $L$ и $P$ — это $A$ и $B$. Прямая $\ell$ проходит через $A(0;8)$ при $a=8$ и через $B(8;16)$ при $16=9a$, то есть $a=\frac{16}{9}$. В этих случаях одна точка пересечения с $L$ совпадает с точкой на дуге.

Граничные положения прямой $\ell$ показаны пунктиром: касательная $a=-1$, параллельная $a=1$, через $B$ при $a=\frac{16}{9}$ и через $A$ при $a=8$.

Сложим точки на $L$ и на дуге.

При $a<-1$: одна точка на $L$, на дуге нет — одно решение.

При $a=-1$: одна точка на $L$ и точка касания $T$ — два решения.

При $-1<a<\frac{16}{9}$ и $a\ne 1$: одна точка на $L$ и две на дуге — три решения. При $a=1$ точек на $L$ нет, на дуге две — два решения.

При $a=\frac{16}{9}$: точка на $L$ — это $B$, она же одна из двух точек дуги. Различных точек две — два решения.

При $\frac{16}{9}<a<8$: одна точка на $L$ и одна на дуге, они различны — два решения.

При $a=8$: точка на $L$ и точка на дуге совпадают с $A$ — одно решение. При $a>8$: только точка на $L$ — одно решение.

Ответ: $a\in \{-1;1\}\cup \left[\frac{16}{9};8\right)$.