ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Выделим полный квадрат под модулем:

$$x^2-2(a+1)x+a^2+2a={\left(x-(a+1)\right)}^2-(a+1{)}^2+a^2+2a={\left(x-(a+1)\right)}^2-1.$$

Обозначим $b=a+1$. Тогда

$$f(x)=x-2|x|+\left|(x-b{)}^2-1\right|.$$

Функция $f$ непрерывна и $f(x)\to +\infty$ при $x\to \pm \infty$ (квадратичное слагаемое растёт быстрее линейных), поэтому наименьшее значение она достигает. Значит, наименьшее значение больше $-4$ тогда и только тогда, когда $f(x)>-4$ при всех $x$:

$$\left|(x-b{)}^2-1\right|+4>2|x|-x\text{при всех }x.$$

Обозначим $h(x)=\left|(x-b{)}^2-1\right|+4$ и $g(x)=2|x|-x$. Нужно найти $b$, при которых график $h$ целиком лежит строго выше графика $g$.

График $g$ — два луча из начала координат: $y=x$ при $x⩾0$ и $y=-3x$ при $x<0$.

График $h$ получается из параболы $y=(x-b{)}^2-1$ отражением вверх её части под осью $Ox$ и сдвигом на $4$ вверх. При $|x-b|⩾1$ имеем $h(x)=(x-b{)}^2+3$, при $|x-b|⩽1$ имеем $h(x)=5-(x-b{)}^2$. Наименьшее значение $4$ достигается в точках $x=b\pm 1$, в точке $x=b$ — «горбик» высотой $5$. С ростом $b$ график сдвигается вправо.

Найдём граничные положения.

Положение 1: луч $y=-3x$ касается левой ветви $y=(x-b{)}^2+3$ (при $x⩽b-1$). В точке касания равны значения и производные:

$$\{\begin{array}{l}2(x-b)=-3,\\ (x-b{)}^2+3=-3x\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=b-\frac{3}{2},\\ \frac{9}{4}+3=-3b+\frac{9}{2}\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=b-\frac{3}{2},\\ b=-\frac{1}{4}.\end{array}$$

Точка касания $x=-\frac{7}{4}$ лежит на этой ветви ($x⩽b-1$) и на луче ($x<0$): это точка $T\left(-\frac{7}{4};\frac{21}{4}\right)$.

Положение 2: луч $y=x$ проходит через правую нижнюю точку $(b+1;4)$ графика $h$:

$$4=b+1⟺b=3.$$

Это точка $K(4;4)$. Касания луча $y=x$ с правой ветвью $y=(x-b{)}^2+3$ не бывает: из $2(x-b)=1$ получаем $x=b+\frac{1}{2}<b+1$, а такие точки этой ветви не принадлежат.

По рисунку подходят положения графика $h$ строго между этими двумя. Обоснуем это выкладкой, разобрав два луча.

Правый луч. Оценим $h(x)-x$ при всех $x$. При $|x-b|⩾1$:

$$(x-b{)}^2+3-x={\left(x-b-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}-b.$$

При $x⩾b+1$ квадрат не меньше $\frac{1}{4}$, и выражение не меньше $3-b$ (равенство при $x=b+1$); при $x⩽b-1$ квадрат не меньше $\frac{9}{4}$, и выражение не меньше $5-b$. При $|x-b|⩽1$ функция $5-(x-b{)}^2-x$ вогнута, её минимум на отрезке $[b-1;b+1]$ достигается на конце; значения на концах $5-b$ и $3-b$. Итак, $h(x)-x⩾3-b$ при всех $x$, причём равенство достигается при $x=b+1$.

Если $b<3$, то $h(x)>x$ при всех $x$, в том числе при $x⩾0$. Если $b⩾3$, то в точке $x=b+1>0$ получаем $h(x)-g(x)=3-b⩽0$ — условие нарушено.

Левый луч. Оценим $h(x)+3x$ при всех $x$. При $|x-b|⩾1$:

$$(x-b{)}^2+3+3x={\left(x-b+\frac{3}{2}\right)}^2+3b+\frac{3}{4}⩾3b+\frac{3}{4},$$

равенство при $x=b-\frac{3}{2}$, и эта точка лежит на ветви $x⩽b-1$. При $|x-b|⩽1$ функция $5-(x-b{)}^2+3x$ вогнута, её значения на концах $x=b-1$ и $x=b+1$ равны $3b+1$ и $3b+7$, оба больше $3b+\frac{3}{4}$. Итак, $h(x)+3x⩾3b+\frac{3}{4}$ при всех $x$.

Если $b>-\frac{1}{4}$, то $h(x)>-3x$ при всех $x$, в том числе при $x<0$. Если $b⩽-\frac{1}{4}$, то точка $x=b-\frac{3}{2}⩽-\frac{7}{4}$ отрицательна, и в ней $h(x)-g(x)=3b+\frac{3}{4}⩽0$ — условие нарушено.

Значит, условие выполнено тогда и только тогда, когда $-\frac{1}{4}<b<3$. Вернёмся к $a=b-1$:

$$-\frac{1}{4}<a+1<3⟺-\frac{5}{4}<a<2.$$

Ответ: $a\in \left(-\frac{5}{4};2\right)$.