ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — показательные неравенства с параметром

Разбор — 4 балла

Перенесём всё в левую часть. Заметим, что $-a{x}^2+1,5ax=-a\left(x^2-1,5x\right)$ и $2x^2-3x=2\left(x^2-1,5x\right)$. Сгруппируем слагаемые с множителем $a$ и с множителем $2^x+2$:

$$a\left(a-7,5+x^2-1,5x\right)-2\left(2^x+2\right)\left(a-7,5+x^2-1,5x\right)⩽0.$$

Вынесем общую скобку:

$$\left(a-7,5+x^2-1,5x\right)\left(a-2^{x+1}-4\right)⩽0.$$

Обозначим

$$g(x)=-x^2+1,5x+7,5,f(x)=2^{x+1}+4.$$

Неравенство принимает вид $(a-g(x))(a-f(x))⩽0$. Произведение двух множителей неположительно, когда они разных знаков или один из них равен нулю, то есть когда $a$ лежит между числами $f(x)$ и $g(x)$ (включая их).

Решим задачу графически в системе координат $xOa$. Множество решений неравенства — точки, лежащие между графиками $a=f(x)$ и $a=g(x)$, вместе с самими графиками. Нужно найти $a$, при которых горизонтальная прямая $a=\text{const}$ задевает это множество в полосе $-1⩽x<0$.

Изучим функции на промежутке $[-1;0)$.

Функция $f(x)=2^{x+1}+4$ возрастает, $f(-1)=2^0+4=5$, $f(0)=6$. Значит, $f(x)\in [5;6)$.

Функция $g(x)$ задаёт параболу с ветвями вниз и вершиной в точке $x=\frac{3}{4}$, поэтому на $[-1;0)$ она возрастает. $g(-1)=-1-1,5+7,5=5$, $g(0)=7,5$. Значит, $g(x)\in [5;7,5)$.

Оба графика выходят из общей точки $(-1;5)$. Точки $(0;6)$ и $(0;7,5)$ не входят, так как $x=0$ исключено. Проверим, какая область подходит: в точке $\left(-\frac{1}{2};6\right)$ имеем $g\left(-\frac{1}{2}\right)=6,5>6$ и $f\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2}+4<6$, то есть $6$ лежит между $f$ и $g$ — точка подходит. Значит, в полосе подходит «линза» между графиками.

Граничные положения горизонтальной прямой: $a=5$ (через точку $(-1;5)$, входит) и $a=7,5$ (через выколотую точку $(0;7,5)$, не входит). Обоснуем это.

Если $a<5$, то при всех $x\in [-1;0)$ имеем $a<5⩽g(x)$ и $a<5⩽f(x)$: оба множителя отрицательны, произведение положительно. Решений нет.

Если $a⩾7,5$, то $a>g(x)$ и $a>6>f(x)$: оба множителя положительны. Решений нет.

Если $5⩽a<7,5$, то непрерывная возрастающая функция $g$ принимает на $[-1;0)$ все значения из $[5;7,5)$, поэтому найдётся $x_0\in [-1;0)$ с $g(x_0)=a$. При $x=x_0$ первый множитель равен нулю, и неравенство выполнено.

Ответ: $a\in [5;7,5)$.