ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Равенство двух арифметических корней означает, что подкоренные выражения равны и неотрицательны:

$$\sqrt{36-y^2}=\sqrt{36-a^2{x}^2}⟺\{\begin{array}{l}36-y^2=36-a^2{x}^2,\\ 36-y^2⩾0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}y=ax,\\ y=-ax,\end{array}\\ -6⩽y⩽6.\end{array}$$

Второе уравнение выделением полных квадратов приводится к виду

$$(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=10.$$

Это окружность $\omega$ с центром $Q(1;3)$ и радиусом $\sqrt{10}$. Она проходит через начало координат $O(0;0)$. Ординаты её точек лежат в пределах $3-\sqrt{10}⩽y⩽3+\sqrt{10}$, и $3-\sqrt{10}>-6$, поэтому условие $y⩾-6$ выполняется само; остаётся условие $y⩽6$.

Значит, решения системы — это точки окружности $\omega$, лежащие на прямой $y=ax$ или $y=-ax$ и имеющие ординату не больше $6$.

Найдём точки пересечения прямой $y=kx$ с окружностью. Подставим $y=kx$ в уравнение $x^2+y^2=2x+6y$:

$$(1+k^2)x^2-(2+6k)x=0⟺x=0\text{или}x=\frac{2+6k}{1+k^2}.$$

Каждая такая прямая проходит через $O$ и пересекает окружность ещё в точке

$$P_k\left(\frac{2+6k}{1+k^2};\frac{k(2+6k)}{1+k^2}\right).$$

Точка $P_k$ совпадает с $O$ только при $2+6k=0$, то есть при $k=-\frac{1}{3}$: в этом случае прямая касается окружности в точке $O$ (радиус $QO$ имеет угловой коэффициент $3$, а касательная ему перпендикулярна).

Условие $y⩽6$ для точки $P_k$:

$$\frac{k(2+6k)}{1+k^2}⩽6⟺2k+6k^2⩽6+6k^2⟺k⩽3.$$

При $k=3$ получаем точку $P_3(2;6)$, она подходит. Точка $O$ подходит всегда.

Теперь посчитаем решения.

При $a=0$ обе прямые совпадают с $y=0$. Решения: $O$ и $P_0(2;0)$ — ровно два.

При $a\ne 0$ прямые $y=|a|x$ и $y=-|a|x$ различны и пересекаются только в точке $O$. Их вторые точки с окружностью (если они отличны от $O$) лежат на разных прямых и потому различны. Итак, решение $O$ есть всегда, а дальше:

прямая с $k=|a|>0$ даёт вторую точку, отличную от $O$, и она подходит тогда и только тогда, когда $|a|⩽3$;

прямая с $k=-|a|<0$ всегда удовлетворяет условию $k⩽3$, но её вторая точка совпадает с $O$ при $|a|=\frac{1}{3}$.

Получаем: при $|a|=\frac{1}{3}$ решений $1+1=2$; при $|a|>3$ решений $1+1=2$; при $0<|a|⩽3$, $|a|\ne \frac{1}{3}$ решений три.

Граничные положения прямых показаны пунктиром: $y=\pm 3x$ (точка $(2;6)$ ещё входит) и $y=\pm \frac{1}{3}x$ (прямая $y=-\frac{1}{3}x$ касается окружности в $O$).

Ответ: $a\in (-\infty ;-3)\cup \left\{-\frac{1}{3};0;\frac{1}{3}\right\}\cup (3;+\infty )$.