ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически в системе координат $xOa$ (по горизонтали $x$, по вертикали $a$). Пара $(x;a)$ удовлетворяет системе, если соответствующая точка лежит в области $\Omega$, которую задают оба неравенства. Нам нужны те $a$, при которых горизонтальная прямая $a=\text{const}$ имеет хотя бы одну общую точку с $\Omega$ в полосе $-1⩽x⩽0$.

Первое неравенство $|x|+|a|⩽4$. При $x⩾0$, $a⩾0$ оно принимает вид $x+a⩽4$ — это часть первой четверти под прямой $a=4-x$. Замена $x$ на $-x$ или $a$ на $-a$ неравенство не меняет, поэтому множество симметрично относительно обеих осей. Получаем квадрат с вершинами $(4;0)$, $(0;4)$, $(-4;0)$, $(0;-4)$ вместе с границей.

Второе неравенство выделением полного квадрата приводится к виду

$$x^2+8x+16<16a+64⟺(x+4{)}^2<16(a+4)⟺a>\frac{(x+4{)}^2}{16}-4.$$

Это точки строго выше параболы $a=\frac{(x+4{)}^2}{16}-4$ с вершиной $(-4;-4)$ и ветвями вверх. Ось $Ox$ она пересекает при $(x+4{)}^2=64$, то есть в точках $x=-12$ и $x=4$. Сама парабола в область не входит.

В полосе $-1⩽x⩽0$ условие $|a|⩽4-|x|=4+x$ означает $-4-x⩽a⩽4+x$: сверху область ограничена стороной квадрата $a=4+x$, снизу — стороной $a=-4-x$ и параболой.

Найдём точку $M$ пересечения параболы с нижней стороной $a=-(x+4)$:

$$-(x+4)=\frac{(x+4{)}^2}{16}-4⟺(x+4{)}^2+16(x+4)-64=0.$$

Пусть $u=x+4$, тогда $u^2+16u-64=0$, $u=-8\pm 8\sqrt{2}$. В полосе $u=x+4\in [3;4]$, поэтому $u=8\sqrt{2}-8$, откуда

$$x_0=8\sqrt{2}-12,a_0=-(x_0+4)=8-8\sqrt{2}.$$

Проверим, что $M$ лежит в полосе: неравенство $-1<8\sqrt{2}-12<0$ равносильно $11<8\sqrt{2}<12$, а это верно, так как $121<128<144$.

Область $\Omega$ — часть квадрата выше параболы. На рисунке видно, что в полосе $-1⩽x⩽0$ самая высокая точка области — вершина $(0;4)$, а самая низкая граница — выколотая точка $M(x_0;a_0)$. Граничные положения горизонтальной прямой: $a=4$ и $a=8-8\sqrt{2}$. Обоснуем это.

На отрезке $[-1;0]$ парабола $p(x)=\frac{(x+4{)}^2}{16}-4$ возрастает (вершина при $x=-4$), а нижняя сторона $q(x)=-4-x$ убывает; они равны при $x=x_0$. Поэтому при $-1⩽x⩽x_0$ выполнено $p(x)⩽a_0⩽q(x)$, а при $x_0⩽x⩽0$ выполнено $p(x)⩾a_0$.

Пусть $a⩽a_0$. Если $x\in [-1;x_0)$, то $a⩽a_0<q(x)$, и нарушается первое неравенство. Если $x\in [x_0;0]$, то $a⩽a_0⩽p(x)$, и нарушается строгое второе неравенство. Решений в полосе нет.

Пусть $a>4$. Тогда $a>4+x$ при всех $x⩽0$, и первое неравенство не выполняется. Решений нет.

Пусть $a_0<a⩽4$. Если $-3<a⩽4$, подходит $x=0$: первое неравенство даёт $|a|⩽4$, второе — $0<16a+48$, то есть $a>-3$. Если $a_0<a⩽4+x_0$, подходит $x=x_0$: тогда $q(x_0)=a_0<a⩽4+x_0$ и $a>a_0=p(x_0)$. Так как $4+x_0=8\sqrt{2}-8>-3$, эти два промежутка вместе покрывают весь промежуток $(a_0;4]$.

Итак, решение на отрезке $[-1;0]$ существует при $8-8\sqrt{2}<a⩽4$.

Ответ: $a\in \left(8-8\sqrt{2};4\right]$.