ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Так как $|x^2-a^2|=|x-a|\cdot |x+a|$, перенесём всё в левую часть:

$$|x+a|\cdot |x-a|-|x+a|-8|x-a|+8=0.$$

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвёртым:

$$|x+a|\left(|x-a|-1\right)-8\left(|x-a|-1\right)=0⟺\left(|x+a|-8\right)\left(|x-a|-1\right)=0.$$

Получаем совокупность:

$$[\begin{array}{l}|x+a|=8,\\ |x-a|=1\end{array}⟺[\begin{array}{l}x=8-a,\\ x=-8-a,\\ x=a+1,\\ x=a-1.\end{array}$$

При любом $a$ уравнение имеет корни из этого списка, и других корней нет. Ровно три различных решения будет тогда, когда среди четырёх чисел совпадают ровно два.

Корни $8-a$ и $-8-a$ не совпадают никогда: их разность равна $16$. Корни $a+1$ и $a-1$ тоже не совпадают никогда: их разность равна $2$. Значит, совпасть может только корень из первой пары с корнем из второй пары. Разберём четыре варианта.

$8-a=a+1$, то есть $a=3,5$. Корни: $4,5$; $-11,5$; $4,5$; $2,5$ — различных три.

$8-a=a-1$, то есть $a=4,5$. Корни: $3,5$; $-12,5$; $5,5$; $3,5$ — различных три.

$-8-a=a+1$, то есть $a=-4,5$. Корни: $12,5$; $-3,5$; $-3,5$; $-5,5$ — различных три.

$-8-a=a-1$, то есть $a=-3,5$. Корни: $11,5$; $-4,5$; $-2,5$; $-4,5$ — различных три.

Найденные значения $a$ различны, поэтому при каждом из них совпадает ровно одна пара корней и решений ровно три. При всех остальных $a$ все четыре корня различны и решений четыре.

Ответ: $a\in \{-4,5;-3,5;3,5;4,5\}$.