Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ln(5x-2)√(x²-2x-a²+2a)=0 имеет… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Параметр и логарифмы сложная 2025 развёрнутое

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$ln (5 x - 2) x^{2} - 2 x - a^{2} + 2 a = 0$

имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

ОДЗ уравнения:

${5 x - 2 > 0, x^{2} - 2 x - a^{2} + 2 a ⩾ 0.$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом определён. Получаем совокупность двух систем:

${ln (5 x - 2) = 0, x^{2} - 2 x - a^{2} + 2 a ⩾ 0, (1) {x^{2} - 2 x - a^{2} + 2 a = 0, 5 x - 2 > 0. (2)$

Нас интересуют корни на отрезке $[0; 1]$ . С учётом условия $x > \frac{2}{5}$ это промежуток $(\frac{2}{5}; 1]$ .

Система (1). Уравнение $ln (5 x - 2) = 0$ даёт $5 x - 2 = 1$ , $x = \frac{3}{5}$ . Это число лежит в $(\frac{2}{5}; 1]$ . Найдём, при каких $a$ оно удовлетворяет условию неотрицательности подкоренного выражения:

$\frac{9}{25} - \frac{6}{5} - a^{2} + 2 a ⩾ 0 \cdot 25 ⟺ 25 a^{2} - 50 a + 21 ⩽ 0.$

Корни трёхчлена: $D = 2500 - 2100 = 400$ , $a = \frac{50 \pm 20}{50}$ , то есть $a = \frac{3}{5}$ и $a = \frac{7}{5}$ . Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполнено между корнями.

Рисунок к решению

Корень $x = \frac{3}{5}$ существует при $a \in [\frac{3}{5}; \frac{7}{5}]$ .

Система (2). Подкоренное выражение раскладывается на множители:

$x^{2} - 2 x - a^{2} + 2 a = (x - a) (x + a - 2),$

поэтому уравнение даёт $x = a$ или $x = 2 - a$ . Ограничение $5 x - 2 > 0$ и условие $x \in [0; 1]$ вместе дают $x \in (\frac{2}{5}; 1]$ .

Корень $x = a$ подходит при

$\frac{2}{5} < a ⩽ 1.$

Рисунок к решению

Корень $x = 2 - a$ подходит при

$\frac{2}{5} < 2 - a ⩽ 1 ⟺ 1 ⩽ a < \frac{8}{5} .$

Рисунок к решению

Найдём, когда корни совпадают.

$x = \frac{3}{5}$ и $x = a$ : при $a = \frac{3}{5}$ .

$x = \frac{3}{5}$ и $x = 2 - a$ : $2 - a = \frac{3}{5}$ , $a = \frac{7}{5}$ .

$x = a$ и $x = 2 - a$ : $a = 2 - a$ , $a = 1$ .

Отметим на оси параметра промежутки существования каждого корня и перемычками — совпадения корней. Число корней при данном $a$ — это число промежутков, над которыми проходит вертикальная прямая, с учётом совпадений.

Рисунок к решению

Посчитаем корни.

При $a ⩽ \frac{2}{5}$ ни один корень не подходит.

При $\frac{2}{5} < a < \frac{3}{5}$ подходит только $x = a$ — один корень.

При $a = \frac{3}{5}$ корни $x = \frac{3}{5}$ и $x = a$ совпадают, а $x = 2 - a = \frac{7}{5}$ лежит вне отрезка, — один корень.

При $\frac{3}{5} < a < 1$ подходят различные корни $\frac{3}{5}$ и $a$ — два корня.

При $a = 1$ корни $x = a$ и $x = 2 - a$ совпадают ( $x = 1$ ), и ещё есть $x = \frac{3}{5}$ — два корня.

При $1 < a < \frac{7}{5}$ подходят различные корни $\frac{3}{5}$ и $2 - a$ — два корня.

При $a = \frac{7}{5}$ корни $\frac{3}{5}$ и $2 - a$ совпадают — один корень.

При $\frac{7}{5} < a < \frac{8}{5}$ подходит только $x = 2 - a$ — один корень.

При $a ⩾ \frac{8}{5}$ корней на отрезке нет.

Ту же картину видно на плоскости $(x; a)$ : решения — отрезок $x = \frac{3}{5}$ и ломаная $x = 1 - ∣ a - 1∣$ .

Решения на плоскости (x; a): отрезок x = 3/5 и ломаная x = 1 − |a − 1|

Решение на числовой прямой

Ответ: $a \in (\frac{2}{5}; \frac{3}{5}] \cup [\frac{7}{5}; \frac{8}{5})$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19