ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Если коэффициент при $x^4$ равен нулю, уравнение перестаёт быть биквадратным, поэтому этот случай разберём отдельно.

Случай $a=4$. Уравнение принимает вид

$$-8x^2+26=0⟺x^2=\frac{13}{4}⟺x=\pm \frac{\sqrt{13}}{2}.$$

Два решения — значение $a=4$ подходит.

Случай $a\ne 4$. Тогда $|a-4|>0$. Сделаем замену $t=x^2$, $t⩾0$:

$$|a-4|t^2-2at+|a-30|=0.(\ast )$$

Каждый положительный корень $t$ даёт два решения $x=\pm \sqrt{t}$, корень $t=0$ даёт одно решение $x=0$, отрицательный корень решений не даёт. Поэтому исходное уравнение имеет хотя бы два решения тогда и только тогда, когда уравнение $(\ast )$ имеет хотя бы один положительный корень.

По теореме Виета для уравнения $(\ast )$:

$$t_1{t}_2=\frac{|a-30|}{|a-4|}⩾0,t_1+t_2=\frac{2a}{|a-4|}.$$

Докажем, что положительный корень есть тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен и $t_1+t_2>0$. Если $t_1>0$, то $t_2=\frac{t_1{t}_2}{t_1}⩾0$, и сумма корней положительна. Обратно, если корни существуют и их произведение неотрицательно, то они не могут быть разных знаков; при положительной сумме хотя бы один из них положителен.

Условие на сумму:

$$\frac{2a}{|a-4|}>0⟺a>0.$$

Условие на дискриминант:

$$\frac{D}{4}=a^2-|a-4|\cdot |a-30|=a^2-|(a-4)(a-30)|⩾0.$$

Раскроем модуль. Произведение $(a-4)(a-30)$ неположительно при $4<a⩽30$ (значение $a=4$ мы уже исключили) и положительно при $a<4$ или $a>30$.

Подслучай $4<a⩽30$. Тогда $|(a-4)(a-30)|=-a^2+34a-120$, и

$$a^2+a^2-34a+120⩾0⟺a^2-17a+60⩾0⟺(a-5)(a-12)⩾0.$$

Отсюда $a⩽5$ или $a⩾12$. С учётом подслучая получаем $a\in (4;5]\cup [12;30]$.

Подслучай $a<4$ или $a>30$. Тогда $|(a-4)(a-30)|=a^2-34a+120$, и

$$a^2-a^2+34a-120⩾0⟺a⩾\frac{60}{17}.$$

Так как $\frac{60}{17}=3\frac{9}{17}<4$, с учётом подслучая получаем $a\in \left[\frac{60}{17};4\right)\cup (30;+\infty )$.

Все найденные значения положительны, поэтому условие $a>0$ выполняется автоматически. При каждом из них уравнение $(\ast )$ имеет положительный корень, а исходное уравнение — хотя бы два решения. Например, при $a=\frac{60}{17}$ получаем двукратный корень $t=\frac{a}{|a-4|}=\frac{15}{2}>0$, то есть ровно два решения $x=\pm \sqrt{7,5}$.

Объединим полученные промежутки со значением $a=4$:

$$\left[\frac{60}{17};4\right)\cup \{4\}\cup (4;5]\cup [12;30]\cup (30;+\infty )=\left[\frac{60}{17};5\right]\cup [12;+\infty ).$$

Ответ: $a\in \left[\frac{60}{17};5\right]\cup [12;+\infty )$.