ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — рациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-4x+a=0,\\ 5x^2-6ax+a^2\ne 0.\end{array}$$

Найдём нули знаменателя. Дискриминант уравнения $5x^2-6ax+a^2=0$:

$$D=36a^2-20a^2=16a^2,x=\frac{6a\pm 4a}{10},$$

то есть $x=a$ и $x=\frac{a}{5}$. Значит, $5x^2-6ax+a^2=(x-a)(5x-a)$.

Исходное уравнение имеет ровно два различных решения, когда уравнение $x^2-4x+a=0$ имеет два различных корня и ни один из них не равен $a$ или $\frac{a}{5}$.

Два различных корня будут при положительном дискриминанте:

$$D=16-4a>0⟺a<4.$$

Выясним, при каких $a$ нуль знаменателя оказывается корнем числителя. Подставим $x=a$ в числитель:

$$a^2-4a+a=0⟺a(a-3)=0⟺a=0\text{или}a=3.$$

Подставим $x=\frac{a}{5}$:

$$\frac{a^2}{25}-\frac{4a}{5}+a=0⟺\frac{a^2}{25}+\frac{a}{5}=0⟺\frac{a}{5}\left(\frac{a}{5}+1\right)=0⟺a=0\text{или}a=-5.$$

При $a\in \{-5;0;3\}$ один из корней числителя обращает знаменатель в ноль и выпадает. Оба корня выпасть не могут: при $a=-5$ и $a=3$ корнем числителя является только один из нулей знаменателя, а при $a=0$ нули знаменателя совпадают ($x=0$). Значит, при этих $a$ остаётся одно решение. Проверим: при $a=0$ числитель $x^2-4x$ имеет корни $0$ и $4$, корень $0$ выпадает; при $a=3$ корни $1$ и $3$, выпадает $3$; при $a=-5$ корни $-1$ и $5$, выпадает $-1=\frac{a}{5}$.

При $a⩾4$ числитель имеет не больше одного корня, и двух решений быть не может.

Итак, нужно $a<4$ и $a\ne -5$, $a\ne 0$, $a\ne 3$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-5)\cup (-5;0)\cup (0;3)\cup (3;4)$.