ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $2x-a⩾0$.

Перенесём $x$ в левую часть и заметим общий множитель $x-1$:

$$x^2-x-(x-1)\sqrt{2x-a}=0⟺x(x-1)-(x-1)\sqrt{2x-a}=0⟺(x-1)\left(x-\sqrt{2x-a}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю и выполнено ОДЗ:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=1,\\ 2x-a⩾0,\end{array}\\ \sqrt{2x-a}=x.\end{array}$$

Во втором уравнении левая часть неотрицательна, поэтому возведение в квадрат равносильно при условии $x⩾0$:

$$\sqrt{2x-a}=x⟺\{\begin{array}{l}2x-a=x^2,\\ x⩾0.\end{array}$$

Условие $2x-a⩾0$ здесь выполняется само, ведь $2x-a=x^2⩾0$. Перепишем уравнение, выделив полный квадрат:

$$x^2-2x+a=0⟺(x-1{)}^2=1-a.$$

Первая система даёт корень $x=1$ при $2-a⩾0$, то есть при $a⩽2$.

Разберём вторую систему.

Если $a>1$, то $1-a<0$ и уравнение $(x-1{)}^2=1-a$ корней не имеет.

Если $a=1$, то корень один: $x=1$, и он удовлетворяет условию $x⩾0$. Он совпадает с корнем первой системы.

Если $a<1$, то корней два: $x=1\pm \sqrt{1-a}$. Корень $1+\sqrt{1-a}>1$ всегда удовлетворяет условию $x⩾0$. Корень $1-\sqrt{1-a}$ удовлетворяет ему, если $\sqrt{1-a}⩽1$, то есть $1-a⩽1$, $a⩾0$.

Сведём результаты по промежуткам.

При $a>2$ корней нет.

При $1<a⩽2$ есть только $x=1$ — один корень.

При $a=1$ обе системы дают один и тот же корень $x=1$ — один корень.

При $0⩽a<1$ корни $1$, $1+\sqrt{1-a}$ и $1-\sqrt{1-a}$ различны, так как $\sqrt{1-a}>0$, — три корня. Например, при $a=0$ это $x=0$, $x=1$, $x=2$.

При $a<0$ подходят $x=1$ и $x=1+\sqrt{1-a}$ — два корня.

Ровно один корень уравнение имеет при $1⩽a⩽2$.

Ответ: $a\in [1;2]$.