ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x-a⩾0$, то есть $x⩾a$.

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

$$\sqrt{x-a}\cdot (\sin x-\cos x)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Получаем совокупность:

$$[\begin{array}{l}\sqrt{x-a}=0,\\ \{\begin{array}{l}\sin x=\cos x,\\ x⩾a.\end{array}\end{array}$$

Первое уравнение даёт $x=a$; ОДЗ при этом выполнено автоматически.

Во втором уравнении $\cos x\ne 0$: иначе $\sin x=\pm 1$ и равенство $\sin x=\cos x$ неверно. Разделим на $\cos x$:

$$\mathrm{tg}x=1,x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

На отрезке $[0;\pi ]$ лежит только $x=\frac{\pi }{4}$: соседние значения $-\frac{3\pi }{4}$ и $\frac{5\pi }{4}$ выходят за отрезок.

Теперь выясним, при каких $a$ каждый корень подходит.

Корень $x=\frac{\pi }{4}$ удовлетворяет условию $x⩾a$ при $a⩽\frac{\pi }{4}$.

Корень $x=a$ лежит на отрезке $[0;\pi ]$ при $0⩽a⩽\pi$.

Корни совпадают, если $a=\frac{\pi }{4}$.

Отметим это на оси параметра: для каждого корня — промежуток значений $a$, при которых он существует, а перемычкой — совпадение корней.

Посчитаем корни на каждом промежутке.

При $a<0$ корень $x=a$ не попадает на отрезок, остаётся только $x=\frac{\pi }{4}$ — один корень.

При $0⩽a<\frac{\pi }{4}$ подходят оба корня, и они различны — два корня.

При $a=\frac{\pi }{4}$ корни совпадают — один корень.

При $\frac{\pi }{4}<a⩽\pi$ корень $\frac{\pi }{4}$ не входит в ОДЗ, а $x=a$ лежит на отрезке — один корень.

При $a>\pi$ корней на отрезке нет.

Та же картина на плоскости $(x;a)$: решения — отрезок прямой $a=x$ и луч $x=\frac{\pi }{4}$ при $a⩽\frac{\pi }{4}$.

Ответ: $a\in (-\infty ;0)\cup \left[\frac{\pi }{4};\pi \right]$.