ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Найдём ограничения. Подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x+5⩾0,\\ 5-x>0\end{array}⟺-5⩽x<5.$$

На этом множестве знаменатель $\sqrt{5-x}$ положителен, поэтому дробь равна нулю тогда и только тогда, когда равен нулю числитель, то есть один из множителей $y^2-xy-7y+4x+12$ или $\sqrt{x+5}$.

Разложим первый множитель, сгруппировав слагаемые без $x$ и с $x$:

$$y^2-7y+12-x(y-4)=(y-3)(y-4)-x(y-4)=(y-4)(y-x-3).$$

Значит, первое уравнение системы равносильно совокупности при условии $-5⩽x<5$:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}y=4,\\ y=x+3,\\ x=-5,\end{array}\\ -5⩽x<5.\end{array}$$

На плоскости $(x;y)$ это прямая $x=-5$ и два отрезка: $y=4$ и $y=x+3$ при $-5⩽x<5$ (правые концы выколоты). Второе уравнение задаёт прямую $x+y=a$.

Подставим $y=a-x$ из второго уравнения в первое. Получаем совокупность относительно $x$:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}a-x=4,\\ a-x=x+3,\\ x=-5,\end{array}\\ -5⩽x<5\end{array}⟺\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}a=x+4,\\ a=2x+3,\\ x=-5,\end{array}\\ -5⩽x<5.\end{array}$$

Каждому найденному $x$ соответствует ровно одно $y=a-x$, поэтому число решений системы равно числу различных значений $x$, удовлетворяющих этой совокупности.

Решим её графически в системе координат $xOa$ (по горизонтали $x$, по вертикали $a$). Множество решений совокупности — вертикальная прямая $x=-5$ и два отрезка прямых $a=x+4$ и $a=2x+3$ в полосе $-5⩽x<5$. Найдём характерные точки.

Концы отрезка $a=x+4$: при $x=-5$ получаем $a=-1$, при $x=5$ получаем $a=9$. Точка $(5;9)$ не входит.

Концы отрезка $a=2x+3$: при $x=-5$ получаем $a=-7$, при $x=5$ получаем $a=13$. Точка $(5;13)$ не входит.

Точка пересечения отрезков: $x+4=2x+3$, откуда $x=1$, $a=5$.

Число решений при данном $a$ равно числу общих точек горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с построенным множеством. Граничные положения прямой показаны пунктиром.

Разберём положения прямой снизу вверх.

При $a<-7$ прямая пересекает только вертикаль $x=-5$ — одно решение. При $a=-7$ она проходит через точку $(-5;-7)$, общую для вертикали и отрезка $a=2x+3$, — тоже одно решение.

При $-7<a<-1$ прямая пересекает вертикаль и отрезок $a=2x+3$ — два решения.

При $a=-1$ прямая проходит через точку $(-5;-1)$, общую для вертикали и отрезка $a=x+4$, и ещё пересекает отрезок $a=2x+3$ в точке с $x=-2$ — два решения.

При $-1<a<9$ прямая пересекает все три линии, и точки различны, кроме случая $a=5$: тогда оба отрезка проходят через одну точку $(1;5)$. Поэтому при $a=5$ решений два, а при остальных $a$ из этого промежутка — три.

При $9⩽a<13$ отрезок $a=x+4$ прямая уже не пересекает: точка $(5;9)$ выколота, а выше отрезок не поднимается. Остаются вертикаль и отрезок $a=2x+3$ — два решения.

При $a⩾13$ остаётся только вертикаль, так как точка $(5;13)$ выколота, — одно решение.

Ровно два решения получаются при $-7<a⩽-1$, при $a=5$ и при $9⩽a<13$.

Ответ: $a\in (-7;-1]\cup \{5\}\cup [9;13)$.