ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=\sqrt{x}$, где $t⩾0$. Тогда $x=t^2$: каждому $t⩾0$ соответствует ровно одно $x$, а разным $t$ — разные $x$. Значит, исходное уравнение имеет столько же решений, сколько новое уравнение относительно $t$ на луче $t⩾0$.

После замены уравнение принимает вид

$$|1-3t|=t^2+a⟺a=|1-3t|-t^2,t⩾0.$$

Обозначим $h(t)=|1-3t|-t^2$. Число решений равно числу общих точек графика $a=h(t)$ при $t⩾0$ и горизонтальной прямой $a=\text{const}$ в системе координат $tOa$. Построим график, раскрыв модуль.

Случай 1: $0⩽t⩽\frac{1}{3}$. Здесь $1-3t⩾0$, поэтому

$$h(t)=1-3t-t^2.$$

Это парабола с ветвями вниз, абсцисса её вершины $t=-\frac{3}{2}$ лежит левее нуля. Поэтому на отрезке $\left[0;\frac{1}{3}\right]$ функция убывает от $h(0)=1$ до $h\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{9}$.

Случай 2: $t>\frac{1}{3}$. Здесь $1-3t<0$, модуль раскрывается с минусом:

$$h(t)=3t-1-t^2.$$

Это тоже парабола с ветвями вниз. Найдём её вершину:

$$t_0=\frac{3}{2},h\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{2}-1-\frac{9}{4}=\frac{5}{4}.$$

Значит, на промежутке $\left(\frac{1}{3};\frac{3}{2}\right]$ функция возрастает от $-\frac{1}{9}$ до $\frac{5}{4}$, а при $t⩾\frac{3}{2}$ убывает от $\frac{5}{4}$ до $-\infty$.

По условию $a>0$. Будем поднимать горизонтальную прямую $a=\text{const}$ и считать её общие точки с графиком.

При $0<a⩽1$ прямая пересекает левую дугу ровно в одной точке: на $\left[0;\frac{1}{3}\right]$ функция убывает и принимает каждое значение из $\left[-\frac{1}{9};1\right]$ один раз. Правую дугу прямая пересекает в двух точках: каждое значение из $\left(-\frac{1}{9};\frac{5}{4}\right)$ правая дуга принимает дважды — на участке возрастания и на участке убывания. Всего три решения. Например, при $a=1$ получаем $t=0$, $t=1$, $t=2$, то есть $x=0$, $x=1$, $x=4$.

При $1<a<\frac{5}{4}$ левую дугу прямая уже не пересекает (там $h(t)⩽1$), а правую пересекает в двух точках. Решений ровно два.

При $a=\frac{5}{4}$ прямая проходит через вершину $\left(\frac{3}{2};\frac{5}{4}\right)$ — решение одно. При $a>\frac{5}{4}$ общих точек нет.

На рисунке положение I соответствует $a=1$, положение II — $a=\frac{5}{4}$. Ровно два решения получаются, когда прямая лежит строго между ними.

Ответ: $a\in \left(1;\frac{5}{4}\right)$.