ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Второе уравнение. Выразим $|y|$:

$$4|y|=-x^2-8x\iff |y|=-\frac{x^2}{4}-2x.$$

Левая часть неотрицательна, поэтому $-x^2-8x⩾0$, то есть $x(x+8)⩽0$, $x\in [-8;0]$. На этом отрезке уравнение задаёт две дуги парабол:

$$y=-\frac{x^2}{4}-2x\text{(верхняя дуга, вершина }(-4;4))\text{и}y=\frac{x^2}{4}+2x\text{(нижняя дуга, вершина }(-4;-4)).$$

Дуги соединяются в точках $(-8;0)$ и $(0;0)$ и образуют замкнутую линию $\Gamma$ — границу фигуры $\Phi$, заданной неравенствами $\frac{x^2}{4}+2x⩽y⩽-\frac{x^2}{4}-2x$. Нижняя дуга имеет наименьшее значение $-4$ в точке $(-4;-4)$, поэтому все точки $\Gamma$ имеют $y⩾-4$, причём $y=-4$ только в точке $(-4;-4)$.

Первое уравнение. $y=|x-a|-4$ — уголок с вершиной $V(a;-4)$ и ветвями, направленными вверх: правая ветвь $y=x-a-4$ при $x⩾a$ и левая ветвь $y=-x+a-4$ при $x⩽a$.

Ветви и прямые. Правая ветвь — это часть прямой $y=x-a-4$, где $y⩾-4$, а левая — часть прямой $y=-x+a-4$, где $y⩾-4$. Все точки $\Gamma$ лежат в полуплоскости $y⩾-4$, поэтому общие точки каждой ветви с $\Gamma$ — это все общие точки соответствующей прямой с $\Gamma$.

Сколько общих точек у прямой с $\Gamma$. Фигура $\Phi$ выпуклая: это пересечение области над параболой с ветвями вверх и области под параболой с ветвями вниз. Её граница состоит из дуг парабол и не содержит отрезков. Поэтому прямая пересекает $\Gamma$ ровно в двух точках, если проходит через внутренние точки $\Phi$, в одной точке, если касается фигуры, и не имеет с ней общих точек в остальных случаях.

Для прямой $y=x+c$ найдём, между какими значениями $c$ она проходит через $\Phi$, то есть оценим $y-x$ на фигуре. Из $y⩾\frac{x^2}{4}+2x$ получаем

$$y-x⩾\frac{x^2}{4}+x=\frac{(x+2{)}^2}{4}-1⩾-1,$$

а из $y⩽-\frac{x^2}{4}-2x$ получаем

$$y-x⩽-\frac{x^2}{4}-3x=9-\frac{(x+6{)}^2}{4}⩽9.$$

Равенства достигаются только в точках $(-2;-3)$ на нижней дуге и $(-6;3)$ на верхней. Значит, прямая $y=x+c$ касается фигуры при $c=-1$ и $c=9$ и пересекает $\Gamma$ в двух точках при $-1<c<9$.

Аналогично для прямой $y=-x+d$ оценим $y+x$:

$$y+x⩾\frac{x^2}{4}+3x=\frac{(x+6{)}^2}{4}-9⩾-9,y+x⩽-\frac{x^2}{4}-x=1-\frac{(x+2{)}^2}{4}⩽1.$$

Равенства — в точках $(-6;-3)$ и $(-2;3)$. Прямая $y=-x+d$ пересекает $\Gamma$ в двух точках при $-9<d<1$ и касается фигуры при $d=-9$ и $d=1$.

Условие на $a$. Каждая ветвь пересекает $\Gamma$ не более чем в двух точках, поэтому четыре решения возможны, только если каждая ветвь даёт по две точки.

Правая ветвь лежит на прямой $y=x+c$ с $c=-a-4$: две точки при $-1<-a-4<9$, то есть при $-13<a<-3$.

Левая ветвь лежит на прямой $y=-x+d$ с $d=a-4$: две точки при $-9<a-4<1$, то есть при $-5<a<5$.

Оба условия выполнены при $-5<a<-3$. Ветви имеют единственную общую точку — вершину $V(a;-4)$; она лежит на $\Gamma$ только при $a=-4$, когда $V$ совпадает с вершиной нижней дуги. При $a=-4$ одна из четырёх точек общая для обеих ветвей, и решений три. При остальных $a$ из промежутка $(-5;-3)$ все четыре точки различны.

На рисунке показаны граничные положения уголка: I — левая ветвь касается нижней дуги в точке $(-6;-3)$ ($a=-5$), II — вершина уголка совпадает с вершиной нижней дуги ($a=-4$), III — правая ветвь касается нижней дуги в точке $(-2;-3)$ ($a=-3$). В каждом из этих положений решений три.

Ответ: $a\in (-5;-4)\cup (-4;-3)$.