ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Рассмотрим функции $f(x)=(x-2)\cdot |x-2|$ и $g(x)=2x+a$. Корни уравнения — абсциссы общих точек их графиков. Графики $y=2x+a$ — семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $2$, которые при росте $a$ сдвигаются вверх.

График $f$. Раскроем модуль по определению:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}(x-2{)}^2,& x⩾2,\\ -(x-2{)}^2,& x<2.\end{array}$$

При $x⩾2$ это правая половина параболы $y=(x-2{)}^2$ с вершиной $(2;0)$, при $x<2$ — левая половина параболы $y=-(x-2{)}^2$ с той же вершиной. Функция $f$ возрастает на всей прямой, её производная $f^{\prime }(x)=2|x-2|$.

Граничные положения прямой. Прямая касается графика в точке $x_0$, если $f(x_0)=g(x_0)$ и $f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0)=2$.

Положение I — касание правой ветви: $2(x_0-2)=2$, $x_0=3⩾2$, $f(3)=1$. Из $1=2\cdot 3+a$ получаем $a=-5$.

Положение II — касание левой ветви: $-2(x_0-2)=2$, $x_0=1<2$, $f(1)=-1$. Из $-1=2\cdot 1+a$ получаем $a=-3$.

По рисунку: ниже положения I прямая пересекает график один раз, в положении I — два раза, между I и II — три раза (тонкой линией показана прямая при $a=-4$, проходящая через точку $(2;0)$), в положении II — два раза, выше него — один раз. Подтвердим это подсчётом корней на каждой ветви.

Правая ветвь. $(x-2{)}^2=2x+a$ при $x⩾2$, то есть $x^2-6x+4-a=0$, или $(x-3{)}^2=a+5$. При $a<-5$ корней нет, при $a⩾-5$ корни $x=3\pm \sqrt{a+5}$. Корень $3+\sqrt{a+5}⩾3$ всегда удовлетворяет условию $x⩾2$, а корень $3-\sqrt{a+5}⩾2$ — только при $\sqrt{a+5}⩽1$, то есть при $a⩽-4$. Итого на правой ветви: $0$ точек при $a<-5$, одна при $a=-5$, две при $-5<a⩽-4$, одна при $a>-4$.

Левая ветвь. $-(x-2{)}^2=2x+a$ при $x<2$, то есть $x^2-2x+4+a=0$, или $(x-1{)}^2=-3-a$. При $a>-3$ корней нет, при $a⩽-3$ корни $x=1\pm \sqrt{-3-a}$. Корень $1-\sqrt{-3-a}⩽1$ всегда меньше $2$, а корень $1+\sqrt{-3-a}<2$ — только при $\sqrt{-3-a}<1$, то есть при $a>-4$. Итого на левой ветви: одна точка при $a⩽-4$, две при $-4<a<-3$, одна при $a=-3$, ни одной при $a>-3$.

Сложим. Ветви имеют общую точку только при $x=2$, но левая ветвь берётся при $x<2$, поэтому точки на разных ветвях различны.

При $a<-5$: $0+1=1$ корень. При $a=-5$: $1+1=2$ корня.

При $-5<a<-4$: $2+1=3$ корня. При $a=-4$: на правой ветви $x=2$ и $x=4$, на левой $x=0$ — три корня. При $-4<a<-3$: $1+2=3$ корня.

При $a=-3$: $1+1=2$ корня. При $a>-3$: $1+0=1$ корень.

Ровно три корня получаются при $-5<a<-3$.

Ответ: $a\in (-5;-3)$.