ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $\sqrt{A}=B$ равносильно системе $B⩾0$, $A=B^2$: правая часть должна быть неотрицательной, а подкоренное выражение тогда автоматически равно квадрату и неотрицательно. Поэтому уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}3x^2+4x-a⩾0,\\ 9x^4+4x^2(5x+2)-a\left(2x^2-a\right)={\left(3x^2+4x-a\right)}^2.\end{array}$$

Раскроем скобки в уравнении. Слева: $9x^4+20x^3+8x^2-2a{x}^2+a^2$. Справа:

$${\left(3x^2+4x-a\right)}^2=9x^4+24x^3+16x^2-6a{x}^2-8ax+a^2.$$

Приравняем и перенесём всё в одну сторону:

$$4x^3+8x^2-4a{x}^2-8ax=0\iff x^3+2x^2-a{x}^2-2ax=0.$$

Сгруппируем и разложим на множители:

$$x^2(x+2)-ax(x+2)=0\iff x(x+2)(x-a)=0.$$

Кандидаты в корни: $x=0$, $x=-2$, $x=a$. Проверим для каждого условие $3x^2+4x-a⩾0$.

При $x=0$: $-a⩾0$, то есть $a⩽0$.

При $x=-2$: $3\cdot 4-8-a⩾0$, то есть $a⩽4$.

При $x=a$: $3a^2+4a-a⩾0$, то есть $3a(a+1)⩾0$. Решим методом интервалов:

$$a\in (-\infty ;-1]\cup [0;+\infty ).$$

Кандидаты совпадают так: $0$ и $-2$ — никогда, $a$ и $0$ — при $a=0$, $a$ и $-2$ — при $a=-2$.

Посчитаем число различных корней на каждом промежутке.

При $a>4$ подходит только $x=a$ — один корень.

При $0<a⩽4$ подходят $x=-2$ и $x=a$ — два корня.

При $a=0$ подходят все три кандидата, но $x=a$ совпадает с $x=0$ — два корня.

При $-1<a<0$ подходят $x=0$ и $x=-2$, а $x=a$ не подходит — два корня.

При $-2<a⩽-1$ подходят все три кандидата, и они различны — три корня.

При $a=-2$ подходят все три, но $x=a$ совпадает с $x=-2$ — два корня.

При $a<-2$ подходят все три кандидата, и они различны — три корня.

Ответ: $a\in (-\infty ;-2)\cup (-2;-1]$.