ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Второе уравнение. Выделим полный квадрат:

$$x^2+y^2+10y=0\iff x^2+(y+5{)}^2=25.$$

Это окружность $\omega$ с центром $C(0;-5)$ и радиусом $5$. Она лежит в полосе $-10⩽y⩽0$, и единственная её точка с $y=0$ — начало координат $O(0;0)$.

Первое уравнение. Левая часть $|4x|+|3y|$ неотрицательна, поэтому при $a<0$ решений нет. При $a=0$ уравнению удовлетворяет только точка $O(0;0)$; она лежит на окружности, и система имеет одно решение — не подходит.

При $a>0$ раскроем модули в каждой четверти. Например, при $x⩾0$, $y⩽0$ получаем $4x-3y=12a$, а при $x⩽0$, $y⩽0$ — $-4x-3y=12a$. Всего получаются четыре отрезка — стороны ромба с вершинами $(\pm 3a;0)$ и $(0;\pm 4a)$. Его нижние стороны лежат на прямых

$$y=\frac{4}{3}x-4a(0⩽x⩽3a)\text{и}y=-\frac{4}{3}x-4a(-3a⩽x⩽0).$$

Где могут быть общие точки. У верхних сторон ромба $y⩾0$, причём $y=0$ только в вершинах $(\pm 3a;0)$, которые на окружности не лежат (её единственная точка на оси $Ox$ — это $O$). Окружность лежит в полуплоскости $y⩽0$, поэтому общие точки возможны только на нижних сторонах. Картинка симметрична относительно оси $Oy$, значит, на левой и правой нижних сторонах одинаковое число общих точек; общей у этих сторон является только нижняя вершина $V(0;-4a)$.

Окружность пересекает ось $Oy$ в точках $O(0;0)$ и $(0;-10)$, поэтому вершина $V$ лежит внутри круга при $0<4a<10$, на окружности при $4a=10$ и вне круга (ниже него) при $4a>10$. Рассмотрим эти случаи.

Случай $0<a<\frac{5}{2}$. Правая нижняя сторона соединяет точку $V$ внутри круга с точкой $(3a;0)$ вне круга. Прямая, проходящая через внутреннюю точку круга, пересекает окружность в двух точках, лежащих по разные стороны от этой внутренней точки, поэтому на отрезке от $V$ до $(3a;0)$ лежит ровно одна из них. Значит, на каждой нижней стороне ровно одна общая точка, и система имеет ровно два решения — подходит.

Случай $a=\frac{5}{2}$ (положение I). Вершина $V(0;-10)$ лежит на окружности. Найдём вторую общую точку правой стороны $y=\frac{4}{3}x-10$ с окружностью:

$$x^2+{\left(\frac{4}{3}x-5\right)}^2=25\iff \frac{25}{9}{x}^2-\frac{40}{3}x=0\iff x=0\text{или}x=\frac{24}{5}.$$

Точка $x=\frac{24}{5}=4,8$ лежит на стороне, так как $4,8⩽3a=7,5$. Получаем общие точки $V$, $(4,8;-3,6)$ и симметричную ей $(-4,8;-3,6)$ — три решения, не подходит.

Случай $a>\frac{5}{2}$. Найдём расстояние от центра $C(0;-5)$ до прямой $4x-3y-12a=0$, содержащей правую нижнюю сторону:

$$\rho =\frac{|4\cdot 0-3\cdot (-5)-12a|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|15-12a|}{5}=\frac{12a-15}{5}.$$

Убедимся, что все общие точки этой прямой с окружностью лежат на самой стороне. При $x>3a$ на прямой $y>0$, а при $x<0$ на прямой $y<-4a<-10$; ни там, ни там точек окружности нет. Значит, число общих точек стороны с окружностью равно числу общих точек всей прямой с окружностью. Прямая пересекает окружность в двух точках при $\rho <5$, касается её при $\rho =5$ и не имеет с ней общих точек при $\rho >5$:

$$\frac{12a-15}{5}<5\iff a<\frac{10}{3},\frac{12a-15}{5}=5\iff a=\frac{10}{3}.$$

При $\frac{5}{2}<a<\frac{10}{3}$ на каждой нижней стороне две общие точки, всего четыре решения — не подходит.

При $a=\frac{10}{3}$ (положение II) каждая нижняя сторона касается окружности, точки касания $(\pm 4;-8)$ — ровно два решения, подходит.

При $a>\frac{10}{3}$ общих точек нет.

На рисунке тонкой линией показан ромб при $a=\frac{3}{2}$, пунктиром — граничные положения I ($a=\frac{5}{2}$) и II ($a=\frac{10}{3}$).

Итак, ровно два решения система имеет при $0<a<\frac{5}{2}$ и при $a=\frac{10}{3}$.

Ответ: $a\in \left(0;\frac{5}{2}\right)\cup \left\{\frac{10}{3}\right\}$.