ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $\sqrt{A}=B$ равносильно системе $B⩾0$, $A=B^2$: правая часть должна быть неотрицательной, а подкоренное выражение тогда автоматически равно квадрату и неотрицательно. Поэтому

$$\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a\iff \{\begin{array}{l}{x}^2+4x-8a⩾0,\\ x^4-16x^2+64a^2={\left(x^2+4x-8a\right)}^2.\end{array}$$

Раскроем квадрат в правой части уравнения:

$${\left(x^2+4x-8a\right)}^2=x^4+8x^3+16x^2-16a{x}^2-64ax+64a^2.$$

Уравнение принимает вид

$$x^4-16x^2+64a^2=x^4+8x^3+16x^2-16a{x}^2-64ax+64a^2\iff 8x^3+32x^2-16a{x}^2-64ax=0.$$

Сгруппируем и разложим на множители:

$$8x^2(x+4)-16ax(x+4)=0\iff 8x(x+4)(x-2a)=0.$$

Получаем три кандидата в корни: $x=0$, $x=-4$, $x=2a$. Проверим для каждого условие $x^2+4x-8a⩾0$.

При $x=0$: $-8a⩾0$, то есть $a⩽0$.

При $x=-4$: $16-16-8a⩾0$, то есть $a⩽0$.

При $x=2a$: $4a^2+8a-8a=4a^2⩾0$ — верно при любом $a$.

Теперь выясним, когда кандидаты совпадают. Числа $0$ и $-4$ различны всегда, $2a=0$ при $a=0$, $2a=-4$ при $a=-2$.

При $a>0$ подходит только $x=2a$ — одно решение.

При $a=0$ подходят $x=0$ и $x=-4$, а $x=2a$ совпадает с $x=0$ — два решения.

При $a=-2$ подходят все три кандидата, но $x=2a=-4$ совпадает с $x=-4$ — два решения.

При $a<0$, $a\ne -2$ подходят все три кандидата и они попарно различны — ровно три решения.

Ответ: $a\in (-\infty ;-2)\cup (-2;0)$.