ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Первое уравнение. Перенесём всё в левую часть и выделим полные квадраты:

$$\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)=2\iff (x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2.$$

Это окружность ${\omega }_1$ с центром $O_1(1;1)$ и радиусом $\sqrt{2}$.

Второе уравнение. Аналогично:

$$x^2-2(1+a)x+(1+a{)}^2+y^2-2(1-a)y+(1-a{)}^2=-2a^2+(1+a{)}^2+(1-a{)}^2.$$

Правая часть равна $-2a^2+1+2a+a^2+1-2a+a^2=2$, поэтому

$${\left(x-(1+a)\right)}^2+{\left(y-(1-a)\right)}^2=2.$$

Это окружность ${\omega }_2$ с центром $O_2(1+a;1-a)$ и тем же радиусом $\sqrt{2}$. При изменении $a$ центр $O_2$ движется по прямой $x+y=2$, проходящей через $O_1$.

Решения системы — это общие точки окружностей ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$. Для двух окружностей с радиусами $r_1$, $r_2$ и расстоянием $d$ между центрами общих точек ровно две тогда и только тогда, когда $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$. При $d=r_1+r_2$ окружности касаются, при $d>r_1+r_2$ общих точек нет, а при $d=0$ и равных радиусах окружности совпадают, и общих точек бесконечно много.

Найдём расстояние между центрами:

$$d=O_1{O}_2=\sqrt{{\left((1+a)-1\right)}^2+{\left((1-a)-1\right)}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=|a|\sqrt{2}.$$

У нас $r_1=r_2=\sqrt{2}$, поэтому $|r_1-r_2|=0$ и $r_1+r_2=2\sqrt{2}$. Ровно две общие точки получаются при

$$0<|a|\sqrt{2}<2\sqrt{2}\iff 0<|a|<2.$$

Граничные положения: при $a=0$ окружности совпадают, а при $a=\pm 2$ центр $O_2$ попадает в точку $(3;-1)$ или $(-1;3)$ и окружности касаются внешним образом в точках $(2;0)$ и $(0;2)$. Между этими положениями окружность ${\omega }_2$ пересекает ${\omega }_1$ в двух точках.

Проверим вывод алгебраически. При $a\ne 0$ вычтем второе уравнение системы из первого: $2ax-2ay-2a^2=0$, то есть $y=x-a$. Подставим в первое уравнение: $(x-1{)}^2+(x-a-1{)}^2=2$, или $2x^2-(2a+4)x+a^2+2a=0$. Его дискриминант $\frac{D}{4}=(a+2{)}^2-2\left(a^2+2a\right)=4-a^2$ положителен ровно при $|a|<2$ — тогда система имеет два решения.

Ответ: $a\in (-2;0)\cup (0;2)$.