ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Область допустимых значений уравнения задаётся условиями $4x-1⩾0$ и $x^2-2x+2-a^2>0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом определён. Поэтому уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\sqrt{4x-1}=0,\\ x^2-2x+2-a^2>0;\end{array}(1)\\ \{\begin{array}{l}\ln \left(x^2-2x+2-a^2\right)=0,\\ 4x-1⩾0.\end{array}(2)\end{array}$$

Во второй системе условие $x^2-2x+2-a^2>0$ выполнено автоматически: из уравнения следует, что это выражение равно $1$.

Система $(1)$. Из уравнения $x=\frac{1}{4}$. Подставим в неравенство:

$$\frac{1}{16}-\frac{1}{2}+2-a^2>0\iff a^2<\frac{25}{16}\iff |a|<\frac{5}{4}.$$

Корень $x=\frac{1}{4}$ лежит на отрезке $[0;1]$, поэтому он даёт корень на отрезке при $|a|<\frac{5}{4}$ и не существует при $|a|⩾\frac{5}{4}$.

Система $(2)$. Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен $1$:

$$x^2-2x+2-a^2=1\iff (x-1{)}^2=a^2\iff x=1+a\text{или}x=1-a.$$

Эти два числа — это $1+|a|$ и $1-|a|$. Нам нужны корни, удовлетворяющие условию $x⩾\frac{1}{4}$ и лежащие на отрезке $[0;1]$, то есть принадлежащие отрезку $\left[\frac{1}{4};1\right]$.

Число $1+|a|⩾1$ попадает на этот отрезок только при $a=0$, и тогда оно равно $1$.

Число $1-|a|⩽1$ попадает на отрезок, когда $1-|a|⩾\frac{1}{4}$, то есть $|a|⩽\frac{3}{4}$.

Итак, система $(2)$ при $|a|⩽\frac{3}{4}$ даёт на отрезке ровно один корень $x=1-|a|$ (при $a=0$ оба числа совпадают и равны $1$), а при $|a|>\frac{3}{4}$ корней на отрезке не даёт.

Совпадение корней. Корни $x=\frac{1}{4}$ и $x=1-|a|$ совпадают при $1-|a|=\frac{1}{4}$, то есть при $|a|=\frac{3}{4}$.

Подсчёт. При $|a|<\frac{3}{4}$ на отрезке два различных корня: $x=\frac{1}{4}$ (так как $|a|<\frac{3}{4}<\frac{5}{4}$) и $x=1-|a|>\frac{1}{4}$ — не подходит.

При $|a|=\frac{3}{4}$ корни совпадают, на отрезке ровно один корень $x=\frac{1}{4}$ — подходит.

При $\frac{3}{4}<|a|<\frac{5}{4}$ система $(2)$ корней на отрезке не даёт, остаётся один корень $x=\frac{1}{4}$ — подходит.

При $|a|⩾\frac{5}{4}$ число $\frac{1}{4}$ не входит в область допустимых значений, а система $(2)$ корней на отрезке не даёт — корней нет, не подходит.

На плоскости $(x;a)$ корни на отрезке изображаются отрезком прямой $x=\frac{1}{4}$ и ломаной $x=1-|a|$:

Ровно один корень получается при $\frac{3}{4}⩽|a|<\frac{5}{4}$:

Ответ: $a\in \left(-\frac{5}{4};-\frac{3}{4}\right]\cup \left[\frac{3}{4};\frac{5}{4}\right)$.