ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Первое уравнение. Выделим полные квадраты:

$$x^2-4(a+1)x+4(a+1{)}^2+y^2-2ay+a^2=4(a+1{)}^2+a^2-5a^2-8a-3,$$

$$(x-2a-2{)}^2+(y-a{)}^2=1.$$

Это окружность радиуса $1$ с центром $(2a+2;a)$; при изменении $a$ центр движется по прямой $x=2y+2$.

Второе уравнение. $y^2=x^2\iff (y-x)(y+x)=0\iff y=x$ или $y=-x$.

Значит, исходная система равносильна совокупности двух систем:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}y=x,\\ x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0;\end{array}(1)\\ \{\begin{array}{l}y=-x,\\ x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0.\end{array}(2)\end{array}$$

Каждая из систем $(1)$ и $(2)$ — пересечение прямой с окружностью, поэтому имеет не больше двух решений. Общее решение у них может быть только в точке, лежащей на обеих прямых, то есть в $(0;0)$. Значит, исходная система имеет ровно четыре решения тогда и только тогда, когда каждая из систем $(1)$ и $(2)$ имеет два различных решения и точка $(0;0)$ не является решением.

Система $(1)$. Подставим $y=x$ во второе уравнение:

$$2x^2-(6a+4)x+5a^2+8a+3=0.$$

Два различных решения — когда дискриминант положителен:

$$D=(6a+4{)}^2-8\left(5a^2+8a+3\right)=36a^2+48a+16-40a^2-64a-24=-4\left(a^2+4a+2\right)>0.$$

Значит, $a^2+4a+2<0$. Корни трёхчлена $a=-2\pm \sqrt{2}$, поэтому

$$-2-\sqrt{2}<a<-2+\sqrt{2}.$$

Система $(2)$. Подставим $y=-x$:

$$2x^2-(2a+4)x+5a^2+8a+3=0,$$

$$D=(2a+4{)}^2-8\left(5a^2+8a+3\right)=4a^2+16a+16-40a^2-64a-24=-4\left(9a^2+12a+2\right)>0.$$

Значит, $9a^2+12a+2<0$. Корни трёхчлена $a=\frac{-12\pm \sqrt{144-72}}{18}=\frac{-12\pm 6\sqrt{2}}{18}=\frac{-2\pm \sqrt{2}}{3}$, поэтому

$$\frac{-2-\sqrt{2}}{3}<a<\frac{-2+\sqrt{2}}{3}.$$

Положительность дискриминантов означает, что расстояние от центра окружности до каждой прямой меньше радиуса: $\frac{|a+2|}{\sqrt{2}}<1$ и $\frac{|3a+2|}{\sqrt{2}}<1$ — это те же неравенства.

Пересечение условий. Числа $-2-\sqrt{2}$ и $-2+\sqrt{2}$ отрицательны, а при делении отрицательного числа на $3$ оно увеличивается. Поэтому $-2-\sqrt{2}<\frac{-2-\sqrt{2}}{3}$ и $-2+\sqrt{2}<\frac{-2+\sqrt{2}}{3}$, и обе системы имеют по два решения при

$$\frac{-2-\sqrt{2}}{3}<a<-2+\sqrt{2}.$$

Точка $(0;0)$. Она лежит на окружности, когда $5a^2+8a+3=0$, то есть $(a+1)(5a+3)=0$: $a=-1$ или $a=-\frac{3}{5}$. При этих $a$ системы $(1)$ и $(2)$ имеют общее решение $(0;0)$, и решений исходной системы не больше трёх.

Проверим, что оба значения лежат внутри найденного промежутка. Неравенство $\frac{-2-\sqrt{2}}{3}<-1$ равносильно $\sqrt{2}>1$ — верно. Неравенство $-\frac{3}{5}<-2+\sqrt{2}$ равносильно $\frac{7}{5}<\sqrt{2}$, то есть $\frac{49}{25}<2$ — верно. И $-1<-\frac{3}{5}$. Исключаем оба значения:

Ответ: $a\in \left(\frac{-2-\sqrt{2}}{3};-1\right)\cup \left(-1;-\frac{3}{5}\right)\cup \left(-\frac{3}{5};-2+\sqrt{2}\right)$.