ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Обозначим

$$g(y)=y^3+a{y}^2+ay+6y=y^3+a{y}^2+(a+6)y.$$

Тогда равенство из условия записывается как $g(y)=\sqrt{6}x$, то есть $x=\frac{g(y)}{\sqrt{6}}$. Фактически здесь $x$ выражен через $y$: в «повёрнутых» осях, где $y$ — аргумент, а $x$ — значение, это график функции $x=\frac{g(y)}{\sqrt{6}}$.

По определению функции множество точек является графиком функции $y=f(x)$, определённой при всех действительных $x$, тогда и только тогда, когда для каждого действительного $x$ найдётся ровно одно $y$, удовлетворяющее равенству $g(y)=\sqrt{6}x$. Когда $x$ пробегает все действительные числа, $\sqrt{6}x$ тоже пробегает все действительные числа. Значит, условие задачи означает, что функция $g$ принимает каждое действительное значение ровно один раз.

Функция $g$ — многочлен третьей степени со старшим коэффициентом $1$. Она непрерывна, $g(y)\to +\infty$ при $y\to +\infty$ и $g(y)\to -\infty$ при $y\to -\infty$, поэтому по теореме о промежуточном значении каждое действительное значение $g$ принимает хотя бы один раз. Остаётся выяснить, когда каждое значение принимается не больше одного раза.

Найдём производную:

$$g^{\prime }(y)=3y^2+2ay+a+6.$$

Это квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом, его дискриминант

$$\frac{D}{4}=a^2-3(a+6)=a^2-3a-18=(a-6)(a+3).$$

Случай $\frac{D}{4}⩽0$. Тогда $g^{\prime }(y)⩾0$ при всех $y$, причём равенство возможно не больше чем в одной точке. Значит, функция $g$ строго возрастает на всей прямой и каждое значение принимает не больше одного раза. Вместе с доказанным выше получаем: каждое значение принимается ровно один раз, условие выполнено.

Случай $\frac{D}{4}>0$. Тогда у производной два корня $y_1<y_2$; $g^{\prime }>0$ при $y<y_1$ и $y>y_2$, $g^{\prime }<0$ при $y_1<y<y_2$. Функция $g$ возрастает на $(-\infty ;y_1]$, убывает на $[y_1;y_2]$ и снова возрастает на $[y_2;+\infty )$, поэтому $g(y_1)>g(y_2)$. Возьмём любое число $c$ между $g(y_2)$ и $g(y_1)$. По теореме о промежуточном значении уравнение $g(y)=c$ имеет корень на каждом из промежутков $(-\infty ;y_1)$, $(y_1;y_2)$ и $(y_2;+\infty )$, то есть три различных корня. Значит, при $x=\frac{c}{\sqrt{6}}$ равенству удовлетворяют три значения $y$, и множество не является графиком функции.

Итак, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда

$$(a-6)(a+3)⩽0.$$

Решим неравенство методом интервалов:

Ответ: $a\in [-3;6]$.