ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Будем решать задачу графически. Заменим в уравнении $a$ на $y$ и рассмотрим на плоскости $Oxy$ множество $G$ точек, координаты которых удовлетворяют равенству

$$x^2+y^2-2x+14y=|14x+2y|.$$

При фиксированном $a$ корни исходного уравнения — это абсциссы общих точек множества $G$ с горизонтальной прямой $y=a$. Поэтому нужно найти все $a$, при которых прямая $y=a$ имеет с $G$ больше двух общих точек.

Раскроем модуль. Если $14x+2y⩾0$, то есть $y⩾-7x$, получаем

$$x^2+y^2-16x+12y=0\iff (x-8{)}^2+(y+6{)}^2=100.$$

Это окружность ${\omega }_1$ с центром $(8;-6)$ и радиусом $10$; в $G$ входят её точки, лежащие не ниже прямой $y=-7x$.

Если $14x+2y<0$, то есть $y<-7x$, получаем

$$x^2+y^2+12x+16y=0\iff (x+6{)}^2+(y+8{)}^2=100.$$

Это окружность ${\omega }_2$ с центром $(-6;-8)$ и радиусом $10$; в $G$ входят её точки, лежащие ниже прямой $y=-7x$.

Точки на границе случаев. На прямой $y=-7x$ выражение под модулем равно нулю, поэтому оба уравнения превращаются в одно и то же: $x^2+y^2-2x+14y=0$. Значит, обе окружности пересекают прямую $y=-7x$ в одних и тех же точках. Найдём их, подставив $y=-7x$:

$$x^2+49x^2-2x-98x=0\iff 50x(x-2)=0.$$

Получаем точки $P(0;0)$ и $Q(2;-14)$. Окружности одинакового радиуса с разными центрами имеют не больше двух общих точек, поэтому $P$ и $Q$ — единственные общие точки ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$.

Какие дуги входят в $G$. Прямая $y=-7x$ делит каждую окружность хордой $PQ$ на две дуги. Центр $(8;-6)$ окружности ${\omega }_1$ удовлетворяет условию $y⩾-7x$ ($-6⩾-56$), поэтому в $G$ входит дуга ${\omega }_1$, лежащая по ту же сторону от хорды, что и центр, — большая дуга $PQ$ вместе с концами. Центр $(-6;-8)$ окружности ${\omega }_2$ удовлетворяет условию $y<-7x$ ($-8<42$), поэтому от ${\omega }_2$ в $G$ входит её большая дуга $PQ$ (концы $P$ и $Q$ уже входят в $G$ как точки ${\omega }_1$).

Не входят в $G$ меньшие дуги $PQ$ обеих окружностей. Меньшая дуга ${\omega }_1$ проходит через её самую левую точку $(-2;-6)$ и не содержит ни самой верхней точки $(8;4)$, ни самой нижней $(8;-16)$. Поэтому вдоль неё ордината меняется монотонно от $0$ до $-14$, и каждая прямая $y=a$ с $-14<a<0$ пересекает её ровно в одной точке. То же верно для меньшей дуги ${\omega }_2$, проходящей через самую правую точку $(4;-8)$: её ординаты тоже заполняют промежуток от $-14$ до $0$.

Итак, $G$ — две большие дуги, соединённые в точках $P$ и $Q$. Окружность ${\omega }_1$ занимает по высоте отрезок $-16⩽y⩽4$, окружность ${\omega }_2$ — отрезок $-18⩽y⩽2$.

Подсчёт точек пересечения. Горизонтальная прямая $y=a$ пересекает окружность в двух точках, если $a$ лежит строго между ординатами её нижней и верхней точек, и касается её в нижней или верхней точке. Из этих точек нужно убрать те, что лежат на меньших дугах. Будем двигать прямую снизу вверх.

При $a<-18$ общих точек нет. При $a=-18$ прямая касается ${\omega }_2$ в нижней точке $(-6;-18)$ — одна точка.

При $-18<a<-16$ прямая пересекает ${\omega }_2$ в двух точках, обе на большой дуге (так как $a<-14$), а ${\omega }_1$ не пересекает — две точки.

При $a=-16$ к двум точкам на ${\omega }_2$ добавляется точка касания $(8;-16)$ с ${\omega }_1$ — три точки.

При $-16<a<-14$ прямая пересекает каждую окружность в двух точках, все они на больших дугах — четыре точки.

При $a=-14$ прямая проходит через $Q$: на ${\omega }_1$ лежат точки с $x=8\pm 6$, то есть $Q$ и $(14;-14)$, на ${\omega }_2$ — точки с $x=-6\pm 8$, то есть $(-14;-14)$ и $Q$. Всего три различные точки.

При $-14<a<0$ на каждой окружности одна из двух точек пересечения лежит на меньшей дуге и в $G$ не входит — остаются две точки.

При $a=0$ прямая проходит через $P$: на ${\omega }_1$ лежат $P$ и $(16;0)$, на ${\omega }_2$ — $(-12;0)$ и $P$. Всего три точки.

При $0<a<2$ прямая пересекает каждую окружность в двух точках, все на больших дугах — четыре точки.

При $a=2$ прямая касается ${\omega }_2$ в верхней точке $(-6;2)$ и пересекает ${\omega }_1$ в двух точках — три точки.

При $2<a<4$ остаются две точки на ${\omega }_1$, при $a=4$ — одна точка касания $(8;4)$, при $a>4$ общих точек нет.

На рисунке показаны дуги, входящие в $G$, прямая $y=-7x$ и граничные горизонтальные прямые (прямая $y=0$ совпадает с осью $Ox$). Части окружностей за краями рисунка лежат на больших дугах и на подсчёт не влияют.

Больше двух точек пересечения, то есть больше двух корней уравнения, получается при $-16⩽a⩽-14$ и при $0⩽a⩽2$.

Ответ: $a\in [-16;-14]\cup [0;2]$.