ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

График первого уравнения. Раскроем модуль.

При $x>0$ имеем $|x|=x$, и уравнение принимает вид $x\left(x^2+y^2-2y-8\right)=x(2y-8)$. Разделим обе части на $x>0$:

$$x^2+y^2-2y-8=2y-8\iff x^2+y^2-4y=0\iff x^2+(y-2{)}^2=4.$$

Это правая (с $x>0$) половина окружности ${\omega }_1$ с центром $(0;2)$ и радиусом $2$.

При $x<0$ имеем $|x|=-x$, и уравнение принимает вид $x\left(x^2+y^2-2y-8\right)=-x(2y-8)$. Разделим обе части на $x\ne 0$:

$$x^2+y^2-2y-8=-2y+8\iff x^2+y^2=16.$$

Это левая (с $x<0$) половина окружности ${\omega }_2$ с центром $(0;0)$ и радиусом $4$.

При $x=0$ обе части уравнения равны нулю при любом $y$, поэтому в график входит вся прямая $x=0$, то есть ось $Oy$.

Итак, график первого уравнения — ось $Oy$ вместе с правой полуокружностью ${\omega }_1$ и левой полуокружностью ${\omega }_2$. Концы полуокружностей $(0;0)$, $(0;4)$ и $(0;-4)$ лежат на оси $Oy$.

Сведение к подсчёту точек на полуокружностях. Второе уравнение задаёт прямую $y=x+a$ с угловым коэффициентом $1$, она пересекает ось $Oy$ в точке $(0;a)$. Эта точка всегда является решением системы, причём единственным решением с $x=0$. Остальные решения — общие точки прямой с полуокружностями, у них $x\ne 0$.

Обозначим через $N_1$ число общих точек прямой с правой полуокружностью ($x>0$), а через $N_2$ — с левой ($x<0$). Эти точки различны между собой и отличны от $(0;a)$, поэтому система имеет $1+N_1+N_2$ решений. Нужно найти $a$, при которых $N_1+N_2=2$.

Число $N_1$. Подставим $y=x+a$ в уравнение $x^2+(y-2{)}^2=4$:

$$x^2+(x+a-2{)}^2=4\iff 2x^2+2(a-2)x+a^2-4a=0.(1)$$

$N_1$ — число положительных корней уравнения $(1)$. Его дискриминант и характеристики корней по теореме Виета:

$$\frac{D}{4}=(a-2{)}^2-2\left(a^2-4a\right)=-\left(a^2-4a-4\right),x_1+x_2=2-a,x_1{x}_2=\frac{a(a-4)}{2}.$$

Дискриминант обращается в ноль при $a=2\pm 2\sqrt{2}$, положителен между этими числами и отрицателен вне них. Заметим, что $2-2\sqrt{2}<0$ и $2+2\sqrt{2}>4$, так как $2\sqrt{2}>2$.

При $a<2-2\sqrt{2}$ и при $a>2+2\sqrt{2}$ корней нет: $N_1=0$.

При $a=2-2\sqrt{2}$ корень один: $x=\frac{2-a}{2}=\sqrt{2}>0$, прямая касается полуокружности: $N_1=1$. При $a=2+2\sqrt{2}$ единственный корень $x=\frac{2-a}{2}=-\sqrt{2}<0$: $N_1=0$.

При $2-2\sqrt{2}<a<0$ произведение корней положительно и сумма положительна, значит, оба корня положительны: $N_1=2$.

При $a=0$ уравнение $(1)$ принимает вид $2x^2-4x=0$, корни $x=0$ и $x=2$; корень $x=0$ — это точка $(0;0)$ на оси, поэтому $N_1=1$.

При $0<a<4$ произведение корней отрицательно, корни разных знаков: $N_1=1$.

При $a=4$ уравнение $2x^2+4x=0$ имеет корни $x=0$ и $x=-2$: $N_1=0$. При $4<a<2+2\sqrt{2}$ произведение положительно, а сумма отрицательна, оба корня отрицательны: $N_1=0$.

Число $N_2$. Подставим $y=x+a$ в уравнение $x^2+y^2=16$:

$$x^2+(x+a{)}^2=16\iff 2x^2+2ax+a^2-16=0.(2)$$

$N_2$ — число отрицательных корней уравнения $(2)$:

$$\frac{D}{4}=a^2-2\left(a^2-16\right)=32-a^2,x_1+x_2=-a,x_1{x}_2=\frac{a^2-16}{2}.$$

Дискриминант обращается в ноль при $a=\pm 4\sqrt{2}$ и положителен при $|a|<4\sqrt{2}$.

При $|a|>4\sqrt{2}$ корней нет: $N_2=0$. При $a=-4\sqrt{2}$ единственный корень $x=-\frac{a}{2}=2\sqrt{2}>0$: $N_2=0$.

При $-4\sqrt{2}<a<-4$ произведение положительно, сумма $-a$ положительна, оба корня положительны: $N_2=0$. При $a=-4$ уравнение $2x^2-8x=0$ имеет корни $0$ и $4$: $N_2=0$.

При $-4<a<4$ произведение отрицательно, корни разных знаков: $N_2=1$. При $a=4$ уравнение $2x^2+8x=0$ имеет корни $0$ и $-4$: $N_2=1$.

При $4<a<4\sqrt{2}$ произведение положительно, а сумма отрицательна, оба корня отрицательны: $N_2=2$. При $a=4\sqrt{2}$ единственный корень $x=-2\sqrt{2}<0$, прямая касается полуокружности: $N_2=1$.

Итог. Расположим найденные значения по возрастанию: $-4\sqrt{2}<-4<2-2\sqrt{2}<0<4<2+2\sqrt{2}<4\sqrt{2}$ (последнее неравенство верно, так как $2<2\sqrt{2}$). Сведём результаты в таблицу:

$$\begin{array}{cccc}a& N_1& N_2& 1+N_1+N_2\\ a⩽-4& 0& 0& 1\\ -4<a<2-2\sqrt{2}& 0& 1& 2\\ a=2-2\sqrt{2}& 1& 1& 3\\ 2-2\sqrt{2}<a<0& 2& 1& 4\\ 0⩽a<4& 1& 1& 3\\ a=4& 0& 1& 2\\ 4<a<4\sqrt{2}& 0& 2& 3\\ a=4\sqrt{2}& 0& 1& 2\\ a>4\sqrt{2}& 0& 0& 1\end{array}$$

На рисунке показаны граничные положения прямой: I — касание правой полуокружности ($a=2-2\sqrt{2}$), II — прохождение через $(0;0)$ ($a=0$), III — прохождение через $(0;4)$ ($a=4$), IV — касание левой полуокружности ($a=4\sqrt{2}$). Ровно три общие точки у прямой с графиком в положении I, в положении II и между ним и положением IV, кроме положения III.

Ответ: $a\in \left\{2-2\sqrt{2}\right\}\cup [0;4)\cup \left(4;4\sqrt{2}\right)$.