ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=x^2$, где $t⩾0$. Обозначим также $c=|2a-4|⩾0$. Система примет вид

$$\{\begin{array}{l}{t}^2+y^2=a^2,\\ t+y=c.\end{array}$$

Выясним, как число решений новой системы связано с числом решений исходной. Если пара $(t;y)$ — решение новой системы и $t>0$, то ей соответствуют два решения исходной системы: $\left(\sqrt{t};y\right)$ и $\left(-\sqrt{t};y\right)$. Если $t=0$, то ей соответствует одно решение $(0;y)$. Если $t<0$, то решений исходной системы она не даёт. Разные пары дают разные решения, так как значение $t=x^2$ однозначно восстанавливается по $x$.

В плоскости $Oty$ первое уравнение задаёт окружность (или точку при $a=0$), второе — прямую, поэтому новая система имеет не больше двух решений. Значит, исходная система имеет не больше четырёх решений, и ровно четыре — тогда и только тогда, когда новая система имеет два различных решения, в обоих из которых $t>0$.

Выразим из второго уравнения $y=c-t$ и подставим в первое:

$$t^2+(c-t{)}^2=a^2\iff 2t^2-2ct+c^2-a^2=0.$$

Каждому корню $t$ этого уравнения соответствует ровно одно решение $(t;c-t)$ системы. Нам нужно, чтобы уравнение имело два различных положительных корня. По теореме Виета это равносильно трём условиям: дискриминант положителен, сумма корней положительна и произведение корней положительно:

$$\{\begin{array}{l}\frac{D}{4}=c^2-2\left(c^2-a^2\right)=2a^2-c^2>0,\\ t_1+t_2=c>0,\\ t_1{t}_2=\frac{c^2-a^2}{2}>0.\end{array}$$

Условие $\frac{D}{4}>0$ имеет простой геометрический смысл: расстояние $\frac{c}{\sqrt{2}}$ от центра $(0;0)$ до прямой $t+y-c=0$ меньше радиуса $|a|$, то есть прямая пересекает окружность в двух точках.

Если $c^2>a^2$, то $c^2>0$ и $c>0$, поэтому второе условие следует из третьего. Учитывая, что $c^2=(2a-4{)}^2$, получаем систему

$$\{\begin{array}{l}(2a-4{)}^2<2a^2,\\ (2a-4{)}^2>a^2.\end{array}$$

Решим первое неравенство:

$$4a^2-16a+16<2a^2\iff 2a^2-16a+16<0\iff a^2-8a+8<0.$$

Корни трёхчлена $a^2-8a+8$ равны $a=4\pm \sqrt{16-8}=4\pm 2\sqrt{2}$, ветви параболы направлены вверх, поэтому

$$4-2\sqrt{2}<a<4+2\sqrt{2}.$$

Решим второе неравенство:

$$4a^2-16a+16>a^2\iff 3a^2-16a+16>0.$$

Дискриминант $D=16^2-4\cdot 3\cdot 16=64$, корни $a=\frac{16\pm 8}{6}$, то есть $a=\frac{4}{3}$ и $a=4$. Трёхчлен положителен вне отрезка между корнями:

$$a<\frac{4}{3}\text{или}a>4.$$

Найдём пересечение. Сравним $4-2\sqrt{2}$ и $\frac{4}{3}$: неравенство $4-2\sqrt{2}<\frac{4}{3}$ равносильно $\frac{8}{3}<2\sqrt{2}$, то есть $\frac{4}{3}<\sqrt{2}$, а это верно, так как $\frac{16}{9}<2$. Кроме того, $4<4+2\sqrt{2}$. Поэтому пересечение равно

$$a\in \left(4-2\sqrt{2};\frac{4}{3}\right)\cup \left(4;4+2\sqrt{2}\right).$$

Ответ: $a\in \left(4-2\sqrt{2};\frac{4}{3}\right)\cup \left(4;4+2\sqrt{2}\right)$.