ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — показательные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $2-x⩾0$, то есть $x⩽2$.

На ОДЗ оба множителя определены, поэтому произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из них:

$$[\begin{array}{l}\sqrt{2-x}=0,\\ 9^x-3\cdot 3^x+3a-a^2=0,x⩽2.\end{array}$$

Первое уравнение даёт корень $x=2$ при любом $a$. Поэтому уравнение имеет ровно два различных корня тогда и только тогда, когда уравнение $9^x-3\cdot 3^x+3a-a^2=0$ имеет ровно один корень на промежутке $x<2$ (его корень $x=2$, если он есть, совпадает с уже найденным).

Сделаем замену $t=3^x$. Функция $3^x$ строго возрастает, поэтому условию $x<2$ соответствует $0<t<9$, и разным $t$ соответствуют разные $x$. Уравнение принимает вид

$$t^2-3t+3a-a^2=0.$$

Числа $t_1=a$ и $t_2=3-a$ — его корни по теореме, обратной теореме Виета: их сумма $a+(3-a)=3$, а произведение $a(3-a)=3a-a^2$. Значит,

$$(t-a)(t-(3-a))=0.$$

Нужно, чтобы в интервал $(0;9)$ попадало ровно одно значение $t$ из чисел $a$ и $3-a$ (совпадающие числа считаем одним значением).

1) Корни совпадают: $a=3-a$, $a=\frac{3}{2}$. Тогда $t=\frac{3}{2}\in (0;9)$, и получаем один корень $x={\log }_3\frac{3}{2}<2$. Подходит.

2) Корни различны ($a\ne \frac{3}{2}$), и в интервал $(0;9)$ попадает ровно один из них. Число $a$ лежит в $(0;9)$ при $0<a<9$. Число $3-a$ лежит в $(0;9)$ при $0<3-a<9$, то есть при $-6<a<3$. Ровно одно из условий выполнено, если:

• $0<a<9$, но $a\notin (-6;3)$: это $3⩽a<9$;
• $-6<a<3$, но $a\notin (0;9)$: это $-6<a⩽0$.

Если оба числа лежат в $(0;9)$ и различны ($0<a<3$, $a\ne \frac{3}{2}$), корней у исходного уравнения три. Если ни одно не лежит ($a⩽-6$ или $a⩾9$), корень один — $x=2$.

Ответ: $a\in (-6;0]\cup \{1,5\}\cup [3;9)$.