ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Перенесём $ax$ в правую часть:

$$\sqrt{-7-8x-x^2}=2a+3-ax=3-a(x-2).$$

Рассмотрим на плоскости $(x;y)$ графики левой и правой частей; число решений равно числу их общих точек.

Левая часть: уравнение $y=\sqrt{-7-8x-x^2}$ равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}y⩾0,\\ y^2=-7-8x-x^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y⩾0,\\ (x+4{)}^2+y^2=9.\end{array}$$

Это верхняя полуокружность с центром $(-4;0)$ и радиусом $3$: концы $(-7;0)$ и $(-1;0)$, верхняя точка $(-4;3)$.

Правая часть: $y=3-a(x-2)$ — прямая с угловым коэффициентом $-a$, проходящая при любом $a$ через точку $P(2;3)$.

Найдём граничные положения прямой.

Положение I — прямая проходит через точку $(-1;0)$: $0=3-a(-1-2)$, $3a=-3$, $a=-1$.

Положение II — прямая проходит через точку $(-7;0)$: $0=3-a(-7-2)$, $9a=-3$, $a=-\frac{1}{3}$.

Положение III — прямая касается окружности, то есть расстояние от центра $(-4;0)$ до прямой $ax+y-2a-3=0$ равно радиусу:

$$\frac{|-4a+0-2a-3|}{\sqrt{a^2+1}}=3\iff |6a+3|=3\sqrt{a^2+1}\iff (2a+1{)}^2=a^2+1\iff 3a^2+4a=0.$$

Получаем $a=0$ или $a=-\frac{4}{3}$. При $a=0$ прямая $y=3$ касается полуокружности в её верхней точке $(-4;3)$. При $a=-\frac{4}{3}$ прямая касается нижней половины окружности, которая в график не входит, — это положение нам не нужно.

Обоснуем число общих точек. Обозначим $g(x)=\sqrt{9-(x+4{)}^2}-(3-a(x-2))$ — разность ординат полуокружности и прямой. В трёх характерных точках

$$g(-7)=-3-9a,g(-4)=-6a,g(-1)=-3-3a.$$

Прямая и окружность имеют не более двух общих точек.

• $a>0$: при $x\in [-7;-1]$ имеем $x-2<0$, поэтому $3-a(x-2)>3$, а полуокружность не выше $3$ — общих точек нет.
• $a=0$: прямая $y=3$ касается полуокружности — одна точка.
• $-\frac{1}{3}<a<0$: $g(-7)<0$, $g(-4)>0$, $g(-1)<0$. По непрерывности есть корень на $(-7;-4)$ и на $(-4;-1)$ — две точки.
• $a=-\frac{1}{3}$ (положение II): $g(-7)=0$ — точка $(-7;0)$; кроме того, $g(-4)=2>0$, $g(-1)=-2<0$ — ещё одна точка на $(-4;-1)$. Две точки.
• $-1<a<-\frac{1}{3}$: $g(-7)>0$ и $g(-1)<0$, поэтому общая точка есть. Она одна: в точке $x=-7$ прямая проходит ниже оси $Ox$ ($3+9a<0$), а в точке $x=-1$ — выше ($3+3a>0$), значит, прямая пересекает диаметр с концами $(-7;0)$ и $(-1;0)$ во внутренней точке круга. Такая прямая (не горизонтальная) пересекает окружность в двух точках по разные стороны от этого диаметра — одна точка в верхней половине, другая в нижней.
• $a=-1$ (положение I): прямая $y=x+1$ проходит через $(-1;0)$. Вторая её точка пересечения с окружностью находится из уравнения $(x+4{)}^2+(x+1{)}^2=9$, то есть $x^2+5x+4=0$: это $x=-4$, $y=-3<0$ — точка нижней половины. Одна точка.
• $a<-1$: при $x\in [-7;-1]$ ордината прямой $3-a(x-2)=3+|a|(x-2)⩽3-3|a|<0$ — прямая ниже оси, общих точек нет.

Итак, решение единственно при $a=0$ (положение III) и при $-1⩽a<-\frac{1}{3}$ (от положения I включительно до положения II).

Ответ: $a\in \left[-1;-\frac{1}{3}\right)\cup \{0\}$.