ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Перенесём слагаемые без параметра в левую часть:

$$\left|3x^2-8x-3\right|+3x^2+13x=a.$$

Обозначим левую часть через $f(x)$. Число корней исходного уравнения равно числу решений уравнения $f(x)=a$, поэтому исследуем функцию $f$.

Найдём нули подмодульного выражения: $3x^2-8x-3=0$, $D=64+36=100$, $x=\frac{8\pm 10}{6}$, то есть $x=3$ и $x=-\frac{1}{3}$. Знаки подмодульного выражения (парабола ветвями вверх):

При $x⩽-\frac{1}{3}$ и при $x⩾3$ подмодульное выражение неотрицательно:

$$f(x)=3x^2-8x-3+3x^2+13x=6x^2+5x-3.$$

При $-\frac{1}{3}<x<3$ оно отрицательно:

$$f(x)=-3x^2+8x+3+3x^2+13x=21x+3.$$

Итак,

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}6x^2+5x-3,& x⩽-\frac{1}{3},\\ 21x+3,& -\frac{1}{3}<x<3,\\ 6x^2+5x-3,& x⩾3.\end{array}$$

Функция $f$ непрерывна как сумма модуля многочлена и многочлена. В точках стыка $f\left(-\frac{1}{3}\right)=21\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+3=-4$ и $f(3)=21\cdot 3+3=66$.

Изучим монотонность. Парабола $6x^2+5x-3$ имеет вершину в точке

$$x_0=-\frac{5}{12},f(x_0)=6\cdot \frac{25}{144}-\frac{25}{12}-3=\frac{25}{24}-\frac{50}{24}-\frac{72}{24}=-\frac{97}{24}.$$

Так как $-\frac{5}{12}<-\frac{1}{3}$, вершина попадает на луч $x⩽-\frac{1}{3}$. Поэтому:

• на $\left(-\infty ;-\frac{5}{12}\right]$ функция $f$ убывает от $+\infty$ до $-\frac{97}{24}$;
• на $\left[-\frac{5}{12};-\frac{1}{3}\right]$ возрастает от $-\frac{97}{24}$ до $-4$;
• на $\left[-\frac{1}{3};3\right]$ возрастает от $-4$ до $66$ (линейная функция с коэффициентом $21>0$);
• на $[3;+\infty )$ возрастает от $66$ до $+\infty$ (этот луч правее вершины параболы).

Следовательно, $f$ убывает на $\left(-\infty ;-\frac{5}{12}\right]$, возрастает на $\left[-\frac{5}{12};+\infty \right)$, и её наименьшее значение равно $-\frac{97}{24}$. На каждом из этих двух промежутков $f$ непрерывна, монотонна и принимает все значения из $\left[-\frac{97}{24};+\infty \right)$, причём каждое ровно один раз. Значит:

• при $a<-\frac{97}{24}$ уравнение $f(x)=a$ корней не имеет;
• при $a=-\frac{97}{24}$ у него единственный корень $x=-\frac{5}{12}$ (горизонтальная прямая касается графика в вершине параболы);
• при $a>-\frac{97}{24}$ корней ровно два — по одному на каждом промежутке монотонности.

Условию задачи удовлетворяют первые два случая.

Ответ: $a\in \left(-\infty ;-\frac{97}{24}\right]$.