ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — показательные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Перенесём всё в левую часть и сгруппируем слагаемые:

$$4^x+(a-6)2^x-(2+3|a|)2^x-(a-6)(3|a|+2)=0,$$

$$2^x\left(2^x+a-6\right)-(3|a|+2)\left(2^x+a-6\right)=0,$$

$$\left(2^x+a-6\right)\left(2^x-(3|a|+2)\right)=0.$$

Значит, уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}{2}^x=6-a,\\ 2^x=3|a|+2.\end{array}$$

Функция $y=2^x$ строго возрастает и принимает все положительные значения, поэтому уравнение $2^x=c$ имеет ровно одно решение при $c>0$ и не имеет решений при $c⩽0$.

Второе уравнение: $3|a|+2⩾2>0$, поэтому при любом $a$ оно имеет ровно одно решение $x={\log }_2(3|a|+2)$.

Первое уравнение имеет решение $x={\log }_2(6-a)$ при $6-a>0$, то есть при $a<6$, и не имеет решений при $a⩾6$.

Значит, решение единственно в двух случаях.

1) Первое уравнение решений не имеет: $a⩾6$.

2) Оба уравнения имеют решения, и эти решения совпадают: $6-a=3|a|+2$ (тогда автоматически $6-a>0$). Раскроем модуль.

При $a⩾0$: $6-a=3a+2$, $a=1$ — подходит, так как $1⩾0$.

При $a<0$: $6-a=-3a+2$, $2a=-4$, $a=-2$ — подходит, так как $-2<0$.

При остальных $a<6$ решения двух уравнений различны, и решений два.

Ответ: $a\in \{-2;1\}\cup [6;+\infty )$.