ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Раскроем модуль. Если $17x-7a⩾0$, уравнение принимает вид

$$x^2+a^2-7x-17a=17x-7a\iff x^2-24x+a^2-10a=0\iff (x-12{)}^2+(a-5{)}^2=169.$$

Если $17x-7a<0$, то

$$x^2+a^2-7x-17a=-17x+7a\iff x^2+10x+a^2-24a=0\iff (x+5{)}^2+(a-12{)}^2=169.$$

Итак, уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}17x-7a⩾0,\\ (x-12{)}^2+(a-5{)}^2=169,\end{array}\\ \{\begin{array}{l}17x-7a<0,\\ (x+5{)}^2+(a-12{)}^2=169.\end{array}\end{array}$$

Будем рассматривать пары $(x;a)$ как точки плоскости. Первая система задаёт часть окружности ${\omega }_1$ с центром $(12;5)$ и радиусом $13$, лежащую не выше прямой $a=\frac{17}{7}x$; вторая — часть окружности ${\omega }_2$ с центром $(-5;12)$ и радиусом $13$, лежащую выше этой прямой.

Найдём общие точки окружностей с прямой $a=\frac{17}{7}x$. Для ${\omega }_1$ подставим в уравнение $x^2-24x+a^2-10a=0$:

$$x^2-24x+\frac{289x^2}{49}-\frac{170x}{7}=0\iff \frac{338x^2}{49}-\frac{338x}{7}=0\iff \frac{338}{49}x(x-7)=0.$$

Получаем точки $(0;0)$ и $(7;17)$. Для ${\omega }_2$ подставим в уравнение $x^2+10x+a^2-24a=0$:

$$x^2+10x+\frac{289x^2}{49}-\frac{408x}{7}=0\iff \frac{338}{49}x(x-7)=0$$

— те же точки $(0;0)$ и $(7;17)$. Центр $(12;5)$ лежит в области $17x-7a⩾0$ ($204-35>0$), а центр $(-5;12)$ — в области $17x-7a<0$ ($-85-84<0$), поэтому каждая система задаёт большую дугу своей окружности. Дуги соединяются в точках $(0;0)$ и $(7;17)$, и эти точки принадлежат первой дуге (для второй системы в них $17x-7a=0$).

Число корней при данном $a$ равно числу общих точек этого множества с горизонтальной прямой на высоте $a$. Дуги имеют общими только точки $(0;0)$ и $(7;17)$, поэтому посчитаем точки на каждой дуге и сложим.

Первая дуга. Окружность ${\omega }_1$ занимает полосу $-8⩽a⩽18$; при $-8<a<18$ горизонтальная прямая пересекает её в точках $x=12\pm \sqrt{169-(a-5{)}^2}$. Знак выражения $17x-7a$ на окружности меняется только в точках $(0;0)$ и $(7;17)$. Малая дуга между ними — это левые точки при $0<a<17$ (например, при $a=5$ левая точка $x=-1$ даёт $17\cdot (-1)-35<0$); все остальные точки ${\omega }_1$ принадлежат первой дуге. Получаем: при $a=-8$ и $a=18$ — одна точка ($(12;-8)$ и $(12;18)$), при $-8<a⩽0$ и $17⩽a<18$ — две точки, при $0<a<17$ — одна (правая).

Вторая дуга. Окружность ${\omega }_2$ занимает полосу $-1⩽a⩽25$; при $-1<a<25$ точки пересечения $x=-5\pm \sqrt{169-(a-12{)}^2}$. Малая дуга ${\omega }_2$ — правые точки при $0<a<17$ (например, при $a=12$ правая точка $x=8$ даёт $17\cdot 8-84>0$), а сами точки $(0;0)$ и $(7;17)$ ко второй дуге не относятся. Получаем: при $a=-1$ и $a=25$ — одна точка ($(-5;-1)$ и $(-5;25)$), при $-1<a<0$ и $17<a<25$ — две точки, при $0⩽a⩽17$ — одна (левая).

Сложим:

• $a<-8$ — корней нет; $a=-8$ — один корень;
• $-8<a<-1$ — два корня (только на первой дуге);
• $a=-1$ — три корня: две точки первой дуги и точка $(-5;-1)$;
• $-1<a<0$ — четыре корня;
• $a=0$ — три корня: $x=0$, $x=24$ на первой дуге и $x=-10$ на второй;
• $0<a<17$ — два корня;
• $a=17$ — три корня: $x=7$, $x=17$ на первой дуге и $x=-17$ на второй;
• $17<a<18$ — четыре корня;
• $a=18$ — три корня: точка $(12;18)$ и две точки второй дуги;
• $18<a<25$ — два корня; $a=25$ — один; $a>25$ — корней нет.

Более двух корней получается при $-1⩽a⩽0$ и при $17⩽a⩽18$.

Ответ: $a\in [-1;0]\cup [17;18]$.