Найдите все значения p, при каждом из которых уравнение (x²-6x+10)²+(x²-2p²+7p)²=sin(pπ+π/2x) имеет… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Параметр и тригонометрия средняя 2026 развёрнутое

Найдите все значения $p$ , при каждом из которых уравнение

$(x^{2} - 6 x + 10)^{2} + (x^{2} - 2 p^{2} + 7 p)^{2} = sin (p π + \frac{π}{2} x)$

имеет хотя бы один корень.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Выделим полный квадрат в первом выражении:

$x^{2} - 6 x + 10 = (x - 3)^{2} + 1 ⩾ 1.$

Это выражение положительно и не меньше $1$ , поэтому его квадрат тоже не меньше $1$ : $(x^{2} - 6 x + 10)^{2} ⩾ 1$ . Второе слагаемое — квадрат, оно неотрицательно. Значит, при любых $x$ и $p$

$(x^{2} - 6 x + 10)^{2} + (x^{2} - 2 p^{2} + 7 p)^{2} ⩾ 1.$

Правая часть — синус, она не больше $1$ . Поэтому равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны $1$ , то есть одновременно

$⎩ ⎨ ⎧ (x - 3)^{2} = 0, x^{2} - 2 p^{2} + 7 p = 0, sin (p π + \frac{π}{2} x) = 1.$

Из первого уравнения $x = 3$ . Подставим его во второе:

$9 - 2 p^{2} + 7 p = 0 \Leftrightarrow 2 p^{2} - 7 p - 9 = 0.$

Дискриминант $D = 49 + 72 = 121$ , корни $p = \frac{7 \pm 11}{4}$ , то есть $p = - 1$ или $p = \frac{9}{2}$ .

Проверим третье условие при $x = 3$ : $sin (p π + \frac{3 π}{2}) = 1$ .

При $p = - 1$ : $sin (- π + \frac{3 π}{2}) = sin \frac{π}{2} = 1$ — выполнено.

При $p = \frac{9}{2}$ : $sin (\frac{9 π}{2} + \frac{3 π}{2}) = sin 6 π = 0 \neq = 1$ — не выполнено.

Значит, уравнение имеет корень (а именно $x = 3$ ) только при $p = - 1$ .

Ответ: $p = - 1$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19