ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Разложим левую часть на множители. Заметим, что

$$x^2-4x=x(x-4),-64x^3+256x^2=-64x^2(x-4),$$

$$x^4-4x^3-64x+256=x^3(x-4)-64(x-4)=(x-4)\left(x^3-64\right).$$

Вынесем общий множитель $(x-4)$:

$$(x-4)\left(a^{2}x+a\left(x^3-64\right)-64x^2\right)=0.$$

Сгруппируем слагаемые во второй скобке:

$$a^{2}x+a{x}^3-64a-64x^2=ax\left(a+x^2\right)-64\left(a+x^2\right)=\left(x^2+a\right)(ax-64).$$

Получаем равносильное уравнение

$$(x-4)\left(x^2+a\right)(ax-64)=0\iff [\begin{array}{l}x=4,\\ x^2=-a,\\ ax=64.\end{array}$$

Все множители определены при любых $x$, поэтому корни уравнения — это все корни трёх уравнений совокупности. Корень $x=4$ есть всегда. Нужно, чтобы различных корней было ровно два. Рассмотрим знак $a$.

Случай $a>0$. Уравнение $x^2=-a$ корней не имеет, а уравнение $ax=64$ даёт $x=\frac{64}{a}$. Корней два, если $\frac{64}{a}\ne 4$, то есть $a\ne 16$. При $a=16$ корень один: $x=4$. Подходят $a\in (0;16)\cup (16;+\infty )$.

Случай $a=0$. Уравнение $x^2=0$ даёт $x=0$, а уравнение $0\cdot x=64$ корней не имеет. Корни $x=4$ и $x=0$ — ровно два. Значение $a=0$ подходит.

Случай $a<0$. Получаем корни

$$x=4,x=\sqrt{-a}>0,x=-\sqrt{-a}<0,x=\frac{64}{a}<0.$$

Положительный корень не может совпасть с отрицательным. Положительные корни $4$ и $\sqrt{-a}$ совпадают при $-a=16$, то есть $a=-16$. Для отрицательных корней обозначим $b=\sqrt{-a}>0$, тогда $a=-b^2$ и

$$-b=\frac{64}{-b^2}\iff b^3=64\iff b=4\iff a=-16.$$

Значит, при $a=-16$ совпадают обе пары, и корней ровно два: $x=4$ и $x=-4$. При остальных $a<0$ все четыре корня различны — не подходит.

Объединяем: $a=-16$ и $a\in [0;16)\cup (16;+\infty )$.

Ответ: $a\in \{-16\}\cup [0;16)\cup (16;+\infty )$.