ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Второе уравнение $y=\sqrt{3-x}$ равносильно системе $y⩾0$, $y^2=3-x$, то есть $x=3-y^2$, $y⩾0$. Это верхняя ветвь параболы с вершиной $(3;0)$, ветви которой направлены влево. Она определена при $x⩽3$ и проходит, например, через точки $(3;0)$, $(2;1)$, $\left(0;\sqrt{3}\right)$, $(-1;2)$.

Первое уравнение при $a>0$ задаёт квадрат с вершинами $A(-a;0)$, $B(0;a)$, $C(a;0)$, $D(0;-a)$. Действительно, в первой четверти ($x⩾0$, $y⩾0$) оно принимает вид $x+y=a$ — это отрезок $BC$; так же в остальных четвертях получаются отрезки $AB$, $AD$ и $DC$.

Решения системы удовлетворяют условию $y⩾0$, поэтому общие точки возможны только с верхней половиной квадрата. При $y⩾0$ первое уравнение принимает вид $y=a-|x|$, $|x|⩽a$, то есть состоит из двух сторон:

• сторона $AB$: $y=a+x$, $-a⩽x⩽0$;
• сторона $BC$: $y=a-x$, $0⩽x⩽a$.

При увеличении $a$ квадрат растёт, сохраняя центр в начале координат. Найдём граничные положения, в которых меняется число общих точек.

Положение I. Вершина $B(0;a)$ лежит на кривой: $a=\sqrt{3-0}$, то есть $a=\sqrt{3}$.

Положение II. Вершина $C(a;0)$ лежит на кривой: $0=\sqrt{3-a}$, то есть $a=3$.

Положение III. Сторона $BC$ касается кривой. Подставим $y=a-x$ в уравнение $y^2=3-x$:

$$(a-x{)}^2=3-x\iff x^2+(1-2a)x+a^2-3=0.$$

Касание означает, что это уравнение имеет единственный корень, то есть $D=0$:

$$D=(1-2a{)}^2-4\left(a^2-3\right)=1-4a+4a^2-4a^2+12=13-4a=0\iff a=\frac{13}{4}.$$

Тогда $x=\frac{2a-1}{2}=\frac{11}{4}$ и $y=a-x=\frac{1}{2}⩾0$: точка касания $T\left(\frac{11}{4};\frac{1}{2}\right)$ лежит и на стороне $BC$, и на верхней ветви.

На рисунке пунктиром показаны квадраты в положениях I, II и III (изнутри наружу: $a=\sqrt{3}$, $a=3$, $a=\frac{13}{4}$); $B$ — вершина малого квадрата на кривой, $C$ — вершина среднего квадрата, $T$ — точка касания.

Обоснуем число общих точек на каждой стороне.

Сторона $AB$. Решаем уравнение $a+x=\sqrt{3-x}$ на отрезке $[-a;0]$. Функция $\phi (x)=a+x-\sqrt{3-x}$ возрастает (и $x$, и $-\sqrt{3-x}$ возрастают), поэтому корень не больше одного. На концах отрезка

$$\phi (-a)=-\sqrt{3+a}<0,\phi (0)=a-\sqrt{3}.$$

По непрерывности корень на $[-a;0]$ есть тогда и только тогда, когда $\phi (0)⩾0$, то есть $a⩾\sqrt{3}$. При $a=\sqrt{3}$ это $x=0$ (вершина $B$), при $a>\sqrt{3}$ — точка с $x<0$.

Сторона $BC$. Решаем уравнение $a-x=\sqrt{3-x}$ при $0⩽x⩽a$. Обозначим $t=\sqrt{3-x}⩾0$, тогда $x=3-t^2$, и уравнение принимает вид

$$a=3+t-t^2.$$

Условие $x⩾0$ означает $t⩽\sqrt{3}$, а условие $x⩽a$ выполнено автоматически, ведь $a-x=t⩾0$. Разным $t$ соответствуют разные $x$. Значит, число общих точек со стороной $BC$ равно числу корней уравнения $\psi (t)=a$ на отрезке $\left[0;\sqrt{3}\right]$, где $\psi (t)=3+t-t^2$.

График $\psi$ — парабола ветвями вниз с вершиной в точке $t=\frac{1}{2}$. Функция $\psi$ возрастает на $\left[0;\frac{1}{2}\right]$ от $\psi (0)=3$ до $\psi \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{13}{4}$ и убывает на $\left[\frac{1}{2};\sqrt{3}\right]$ от $\frac{13}{4}$ до $\psi \left(\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}$. Поэтому на стороне $BC$:

• при $a<\sqrt{3}$ и при $a>\frac{13}{4}$ общих точек нет;
• при $\sqrt{3}⩽a<3$ — одна точка (корень $t\in \left(\frac{1}{2};\sqrt{3}\right]$);
• при $3⩽a<\frac{13}{4}$ — две точки, по одной на каждом участке монотонности (при $a=3$ это $C(3;0)$ и $(2;1)$);
• при $a=\frac{13}{4}$ — одна точка $T$ ($t=\frac{1}{2}$).

Точки на сторонах $AB$ и $BC$ могут совпасть только в вершине $B$, то есть при $x=0$, а это бывает лишь при $a=\sqrt{3}$. Складываем:

• $0<a<\sqrt{3}$ — общих точек нет;
• $a=\sqrt{3}$ (положение I) — одна точка $B$;
• $\sqrt{3}<a<3$ (между положениями I и II) — две точки, по одной на $AB$ и на $BC$;
• $3⩽a<\frac{13}{4}$ (от положения II до положения III) — три точки;
• $a=\frac{13}{4}$ (положение III) — две точки;
• $a>\frac{13}{4}$ — одна точка на $AB$.

Ответ: $a\in \left(\sqrt{3};3\right)\cup \left\{\frac{13}{4}\right\}$.