ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ равносильно системе $f(x)=g(x)$, $f(x)⩾0$: при выполнении равенства неотрицательность второго подкоренного выражения следует автоматически. Возьмём ограничение на левое подкоренное выражение — оно не содержит параметра:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+6x+8=a-3x,\\ x^2+6x+8⩾0.\end{array}$$

Решим неравенство: $x^2+6x+8=(x+2)(x+4)⩾0$.

Значит, ограничение: $x\in (-\infty ;-4]\cup [-2;+\infty )$.

Уравнение системы приводится к виду $x^2+9x+8-a=0$. Его дискриминант $D=81-4(8-a)=49+4a$.

При $a<-\frac{49}{4}=-12,25$ корней нет, и исходное уравнение не имеет корней — не подходит.

При $a=-12,25$ дискриминант равен нулю, и корень единственный: $x=-\frac{9}{2}=-4,5$. Он удовлетворяет ограничению $x⩽-4$ и отрицателен — у уравнения ровно один корень, и он отрицательный. Подходит.

При $a>-12,25$ корней два:

$$x_1=-4,5-\sqrt{a+12,25},x_2=-4,5+\sqrt{a+12,25},x_1<x_2.$$

Корень $x_1<-4,5$, поэтому он всегда удовлетворяет ограничению $x⩽-4$ и отрицателен. Значит, у исходного уравнения всегда есть отрицательный корень $x_1$, и нужно, чтобы корень $x_2$ не оказался ещё одним отрицательным корнем. Это происходит в двух случаях.

1) $x_2$ — корень исходного уравнения, но неотрицательный, то есть $x_2⩾0$ (ограничение $x⩾-2$ тогда выполнено):

$$-4,5+\sqrt{a+12,25}⩾0\iff \sqrt{a+12,25}⩾4,5\iff a+12,25⩾20,25\iff a⩾8.$$

2) $x_2$ не удовлетворяет ограничению, то есть $-4<x_2<-2$:

$$-4<-4,5+\sqrt{a+12,25}<-2\iff 0,5<\sqrt{a+12,25}<2,5\iff 0,25<a+12,25<6,25\iff -12<a<-6.$$

Возведение в квадрат здесь равносильно, так как все части неравенств положительны. Тогда у уравнения единственный корень $x_1$, и он отрицателен.

В остальных случаях корень $x_2$ подходит и отрицателен: $-4,5<x_2⩽-4$ при $-12,25<a⩽-12$ и $-2⩽x_2<0$ при $-6⩽a<8$. Тогда отрицательных корней два, и эти значения не подходят.

Ответ: $a\in \{-12,25\}\cup (-12;-6)\cup [8;+\infty )$.