ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}a=|4x|-x-3,\\ a\ne x^2-x.\end{array}$$

Из первого уравнения $a$ выражается через $x$, поэтому второе условие можно записать без параметра: $x^2-x\ne |4x|-x-3$.

Обозначим $f(x)=|4x|-x-3$ и раскроем модуль:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x-3,& x⩾0,\\ -5x-3,& x<0.\end{array}$$

Найдём, при каких $x$ нарушается условие $f(x)\ne x^2-x$.

При $x⩾0$: $x^2-x=3x-3$, $x^2-4x+3=0$, откуда $x=1$ или $x=3$; при этом $f(1)=0$, $f(3)=6$.

При $x<0$: $x^2-x=-5x-3$, $x^2+4x+3=0$, откуда $x=-1$ или $x=-3$; при этом $f(-1)=2$, $f(-3)=12$.

Итак, решения исходного уравнения — это корни уравнения $f(x)=a$, кроме чисел $x=\pm 1$ и $x=\pm 3$.

Построим на плоскости $(x;y)$ график $y=f(x)$ — ломаную с вершиной $(0;-3)$ — и выколем на нём точки $(1;0)$, $(3;6)$, $(-1;2)$, $(-3;12)$: это точки пересечения ломаной с параболой $y=x^2-x$. Число решений при данном $a$ равно числу общих точек выколотого графика с горизонтальной прямой $y=a$. На рисунке парабола показана тонкой линией, граничные положения горизонтальной прямой — пунктиром (положение $y=0$ — это ось $Ox$).

Функция $f$ убывает на $(-\infty ;0]$ от $+\infty$ до $-3$ и возрастает на $[0;+\infty )$ от $-3$ до $+\infty$. Поэтому:

• при $a<-3$ общих точек нет — решений нет;
• при $a=-3$ одна общая точка $(0;-3)$, она не выколота — одно решение;
• при $a>-3$ прямая пересекает ломаную в двух точках: $x_1=-\frac{a+3}{5}<0$ и $x_2=\frac{a+3}{3}>0$.

В последнем случае одна из этих точек выколота ровно при $a\in \{0;2;6;12\}$: при $a=0$ выколота точка $x_2=1$, при $a=6$ — точка $x_2=3$, при $a=2$ — точка $x_1=-1$, при $a=12$ — точка $x_1=-3$. Вторая точка при этом остаётся, и решение одно. При остальных $a>-3$ решений ровно два.

Ответ: $a\in (-3;0)\cup (0;2)\cup (2;6)\cup (6;12)\cup (12;+\infty )$.