ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Найдём ограничения: подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x+2⩾0,\\ 6-x>0\end{array}\iff -2⩽x<6.$$

При этих $x$ знаменатель положителен, поэтому дробь равна нулю тогда и только тогда, когда равен нулю числитель:

$$[\begin{array}{l}{y}^2-xy+3x-y-6=0,\\ \sqrt{x+2}=0.\end{array}$$

Разложим выражение в скобках на множители, рассматривая его как квадратный трёхчлен относительно $y$: $y^2-(x+1)y+3x-6$. Его дискриминант

$$D=(x+1{)}^2-4(3x-6)=x^2-10x+25=(x-5{)}^2,$$

а корни

$$y=\frac{x+1+(x-5)}{2}=x-2,y=\frac{x+1-(x-5)}{2}=3.$$

Значит, $y^2-xy+3x-y-6=(y-3)(y-x+2)$, и первое уравнение системы равносильно

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}y=3,\\ y=x-2,\\ x=-2,\end{array}\\ -2⩽x<6.\end{array}$$

На плоскости $(x;y)$ это множество $G$ состоит из трёх частей:

• вся прямая $x=-2$ (при $x=-2$ числитель равен нулю при любом $y$);
• отрезок прямой $y=3$ от точки $D(-2;3)$ до точки $B(6;3)$, причём точка $B$ выколота;
• отрезок прямой $y=x-2$ от точки $E(-2;-4)$ до точки $A(6;4)$, причём точка $A$ выколота.

Отрезки на прямых $y=3$ и $y=x-2$ пересекаются в точке $C(5;3)$.

Второе уравнение задаёт прямую $y=a-x$ с угловым коэффициентом $-1$; при увеличении $a$ она сдвигается вверх. Число решений системы равно числу общих точек этой прямой с множеством $G$. Найдём их для каждой части.

С прямой $x=-2$ — всегда ровно одна точка $(-2;a+2)$.

С отрезком на прямой $y=3$: $a-x=3$, $x=a-3$. Точка лежит на отрезке при $-2⩽a-3<6$, то есть при $1⩽a<9$.

С отрезком на прямой $y=x-2$: $a-x=x-2$, $x=\frac{a+2}{2}$. Точка лежит на отрезке при $-2⩽\frac{a+2}{2}<6$, то есть при $-6⩽a<10$.

Найденные точки могут совпадать только там, где пересекаются части $G$:

• в точке $D(-2;3)$, если $a-3=-2$, то есть $a=1$;
• в точке $E(-2;-4)$, если $\frac{a+2}{2}=-2$, то есть $a=-6$;
• в точке $C(5;3)$, если $a-3=5$, то есть $a=8$ (тогда и $\frac{a+2}{2}=5$).

Изобразим множество $G$ (жирные линии) и граничные положения прямой $y=a-x$ (пунктир): через точки $E$, $D$, $C$, $B$, $A$ она проходит при $a=-6$, $1$, $8$, $9$, $10$ соответственно.

Посчитаем решения, двигая прямую снизу вверх:

• $a<-6$: только точка на прямой $x=-2$ — одно решение;
• $a=-6$: прямая проходит через $E$, точки на $x=-2$ и на $y=x-2$ совпадают — одно решение;
• $-6<a<1$: точка на $x=-2$ и точка на отрезке $y=x-2$ — два решения;
• $a=1$: прямая проходит через $D$, точки на $x=-2$ и на $y=3$ совпадают, и ещё одна точка на $y=x-2$ — два решения;
• $1<a<8$ и $8<a<9$: три различные точки — три решения;
• $a=8$: прямая проходит через $C$, точки на $y=3$ и на $y=x-2$ совпадают, и ещё точка на $x=-2$ — два решения;
• $9⩽a<10$: точки на отрезке $y=3$ уже нет (при $a=9$ прямая проходит через выколотую точку $B$), остаются точки на $x=-2$ и на $y=x-2$ — два решения;
• $a⩾10$: пропадает и точка на отрезке $y=x-2$ (при $a=10$ прямая проходит через выколотую точку $A$) — одно решение.

Ответ: $a\in (-6;1]\cup \{8\}\cup [9;10)$.