ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $3x-a⩾0$.

Перенесём $x$ в левую часть и вынесем общий множитель:

$$x^2-x-(x-1)\sqrt{3x-a}=0\iff x(x-1)-(x-1)\sqrt{3x-a}=0\iff (x-1)\left(x-\sqrt{3x-a}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом определён. Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=1,\\ 3x-a⩾0,\end{array}\\ x=\sqrt{3x-a}.\end{array}$$

Уравнение $x=\sqrt{3x-a}$ равносильно системе $x⩾0$, $x^2=3x-a$: правая часть неотрицательна, поэтому левая тоже должна быть неотрицательна, а условие $3x-a⩾0$ выполнено автоматически, ведь $3x-a=x^2$. Итак,

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=1,\\ a⩽3,\end{array}\\ \{\begin{array}{l}a=3x-x^2,\\ x⩾0.\end{array}\end{array}$$

Нас интересуют только корни на отрезке $[0;1]$, условие $x⩾0$ на нём выполнено.

Первая система даёт корень $x=1$ при $a⩽3$.

Во второй системе рассмотрим функцию $h(x)=3x-x^2$. Её график — парабола ветвями вниз с вершиной в точке $x=\frac{3}{2}>1$, поэтому на отрезке $[0;1]$ функция возрастает от $h(0)=0$ до $h(1)=2$. Значит, уравнение $3x-x^2=a$ имеет на $[0;1]$ ровно один корень при $0⩽a⩽2$ и не имеет корней при остальных $a$. При $a=2$ этот корень — $x=1$, то есть он совпадает с корнем первой системы.

Изобразим на плоскости $(x;a)$ множество пар, удовлетворяющих совокупности при $0⩽x⩽1$: луч прямой $x=1$ при $a⩽3$ и дугу параболы $a=3x-x^2$ от точки $(0;0)$ до точки $(1;2)$. Число корней при данном $a$ равно числу общих точек этого множества с горизонтальной прямой на высоте $a$.

Посчитаем корни:

• $a<0$: горизонтальная прямая пересекает только луч $x=1$ — один корень;
• $0⩽a<2$: два различных корня — $x=1$ и корень уравнения $3x-x^2=a$, лежащий на $[0;1)$;
• $a=2$: прямая проходит через точку $(1;2)$, оба корня равны $1$ — один корень;
• $2<a⩽3$: один корень $x=1$;
• $a>3$: корней нет.

Ответ: $a\in (-\infty ;0)\cup [2;3]$.