ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Разложим левую часть второго уравнения на множители, сгруппировав слагаемые без $y$ и с $y$:

$$x^2-x-2-y(x-2)=(x-2)(x+1)-y(x-2)=(x-2)(x+1-y).$$

Тот же результат даёт решение второго уравнения как квадратного относительно $x$: $x^2-(y+1)x+2y-2=0$, $D=(y+1{)}^2-4(2y-2)=(y-3{)}^2$, откуда $x=2$ или $x=y-1$.

Значит, второе уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}x=2,\\ y=x+1\end{array}$$

и задаёт на плоскости $(x;y)$ пару прямых ${\ell }_1:x=2$ и ${\ell }_2:y=x+1$, пересекающихся в точке $(2;3)$.

Первое уравнение задаёт окружность $\omega$ с центром $O(a;0)$ и радиусом $3$. При изменении $a$ окружность сдвигается вдоль оси $Ox$.

Решения системы — общие точки окружности с объединением двух прямых. Прямая и окружность имеют не более двух общих точек, поэтому четыре решения возможны только так: окружность пересекает каждую из прямых в двух точках, и все четыре точки различны. Совпасть могут лишь точки, лежащие на обеих прямых, то есть только точка $(2;3)$.

Прямая пересекает окружность в двух точках тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса.

Расстояние от $O(a;0)$ до прямой ${\ell }_1$ равно $|a-2|$:

$$|a-2|<3\iff -3<a-2<3\iff -1<a<5.$$

Запишем ${\ell }_2$ в виде $x-y+1=0$. По формуле расстояния от точки до прямой

$$\frac{|a-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a+1|}{\sqrt{2}}<3\iff |a+1|<3\sqrt{2}\iff -1-3\sqrt{2}<a<3\sqrt{2}-1.$$

Оба условия выполнены одновременно при $-1<a<3\sqrt{2}-1$, так как $3\sqrt{2}-1<5$ и $-1-3\sqrt{2}<-1$.

Осталось исключить случай, когда окружность проходит через точку $(2;3)$:

$$(2-a{)}^2+3^2=9\iff (2-a{)}^2=0\iff a=2.$$

При $a=2$ на каждой прямой по две точки, но одна из них общая — решений три. Значение $a=2$ лежит внутри найденного промежутка, его исключаем.

Проверим концы промежутка. При $a=-1$ окружность касается прямой $x=2$ в точке $(2;0)$, а прямая $y=x+1$ проходит через центр $(-1;0)$ и даёт две точки — всего три решения. При $a=3\sqrt{2}-1$ окружность касается прямой $y=x+1$, а прямую $x=2$ пересекает в двух точках (так как $|a-2|=3\sqrt{2}-3<3$) — тоже три решения. Поэтому концы не подходят.

Ответ: $a\in (-1;2)\cup \left(2;3\sqrt{2}-1\right)$.