ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x+2a>0$, то есть $x>-2a$.

Перенесём правую часть влево и применим формулу разности квадратов $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$:

$$(2x+\ln (x+2a)-2x+\ln (x+2a))\cdot (2x+\ln (x+2a)+2x-\ln (x+2a))=0,$$

$$2\ln (x+2a)\cdot 4x=0\iff 8x\ln (x+2a)=0.$$

На ОДЗ оба множителя определены, поэтому произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из них:

$$[\begin{array}{l}x=0,\\ \ln (x+2a)=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0,\\ x+2a=1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0,\\ x=1-2a.\end{array}$$

Исследуем каждый из корней.

Корень $x=0$ всегда лежит на отрезке $[0;1]$, а в ОДЗ входит при $0+2a>0$, то есть при $a>0$.

Корень $x=1-2a$ входит в ОДЗ при любом $a$, так как для него $x+2a=1>0$. На отрезке $[0;1]$ он лежит, если

$$0⩽1-2a⩽1\iff -1⩽-2a⩽0\iff 0⩽a⩽\frac{1}{2}.$$

Корни совпадают, если $1-2a=0$, то есть при $a=\frac{1}{2}$.

Переберём значения $a$:

• $a<0$: корень $x=0$ не входит в ОДЗ, а корень $x=1-2a>1$ лежит вне отрезка — корней на отрезке нет;
• $a=0$: корень $x=0$ не входит в ОДЗ (выражение $\ln x$ при $x=0$ не определено), остаётся один корень $x=1$ — подходит;
• $0<a<\frac{1}{2}$: два различных корня $x=0$ и $x=1-2a\in (0;1)$ — не подходит;
• $a=\frac{1}{2}$: оба корня равны $0$, корень один — подходит;
• $a>\frac{1}{2}$: корень $x=1-2a<0$ лежит вне отрезка, остаётся один корень $x=0$ — подходит.

Ответ: $a\in \{0\}\cup \left[\frac{1}{2};+\infty \right)$.