ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x\ne 0$. Сделаем замену $y=x+\frac{4}{x}$. Уравнение примет вид

$$a{y}^2+3y-36a+18=0.$$

Исследуем замену. При $x\ne 0$ уравнение $x+\frac{4}{x}=y$ равносильно квадратному уравнению

$$x^2-yx+4=0.$$

Число $x=0$ его корнем не бывает ($0-0+4\ne 0$), поэтому домножение на $x$ не даёт посторонних корней. Дискриминант этого уравнения $D=y^2-16$. Следовательно:

• при $|y|>4$ получаем два различных решения $x$;
• при $|y|=4$ — одно решение ($x=2$ при $y=4$ и $x=-2$ при $y=-4$);
• при $|y|<4$ решений нет.

Каждому $x$ соответствует одно значение $y$, поэтому разные корни $y$ дают разные $x$, и число решений исходного уравнения равно сумме чисел решений по всем корням $y$.

Случай $a=0$. Уравнение становится линейным: $3y+18=0$, $y=-6$. Так как $|-6|>4$, получаем два решения $x$. Значит, $a=0$ подходит.

Случай $a\ne 0$. Уравнение квадратное относительно $y$. Найдём дискриминант:

$$D=9-4a(18-36a)=144a^2-72a+9=(12a{)}^2-2\cdot 12a\cdot 3+3^2=(12a-3{)}^2.$$

Дискриминант — полный квадрат, поэтому корни находятся без радикалов (знак перед $12a-3$ не важен — при «$\pm$» получаются те же два числа):

$$y_1=\frac{-3+(12a-3)}{2a}=\frac{6a-3}{a},y_2=\frac{-3-(12a-3)}{2a}=-6.$$

Корень $y_2=-6$ есть при любом $a\ne 0$, и он даёт два решения $x$: уравнение $x^2+6x+4=0$ имеет корни $x=-3\pm \sqrt{5}$. Значит, решений ровно два тогда и только тогда, когда корень $y_1$ не добавляет новых решений: либо $y_1=y_2$, либо $|y_1|<4$. При $|y_1|=4$ добавится одно решение (всего три), а при $|y_1|>4$, $y_1\ne -6$, — два (всего четыре).

Корни совпадают при $D=0$, то есть при $a=\frac{1}{4}$. Действительно, тогда $y_1=\frac{6\cdot \frac{1}{4}-3}{\frac{1}{4}}=-6$. Значит, $a=\frac{1}{4}$ подходит.

Теперь условие $|y_1|<4$. Обе части неотрицательны, поэтому возведём в квадрат и разложим разность квадратов:

$${\left(\frac{6a-3}{a}\right)}^2<16\iff \left(\frac{6a-3}{a}-4\right)\left(\frac{6a-3}{a}+4\right)<0\iff \frac{(2a-3)(10a-3)}{a^2}<0.$$

Решим методом интервалов. Точка $a=0$ выколота, и при переходе через неё знак не меняется, так как множитель $a$ стоит в чётной степени:

Получаем $\frac{3}{10}<a<\frac{3}{2}$. Концы не подходят: при $a=\frac{3}{10}$ имеем $y_1=-4$, при $a=\frac{3}{2}$ — $y_1=4$, и в обоих случаях решений три.

Объединим найденное: $a=0$, $a=\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{10}<a<\frac{3}{2}$. Заметим, что $\frac{1}{4}<\frac{3}{10}$, так что точка $\frac{1}{4}$ в промежуток не входит и записывается отдельно.

Ответ: $a\in \left\{0;\frac{1}{4}\right\}\cup \left(\frac{3}{10};\frac{3}{2}\right)$.