ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим $y=|x-a^2|+|x+2|$. Тогда уравнение примет вид

$$y^2-11y+2a^2+24=0.$$

Сначала разберёмся с заменой: сколько решений $x$ имеет уравнение $|x-a^2|+|x+2|=y$ при данном $y$. Нули подмодульных выражений — $x=a^2$ и $x=-2$. Так как $a^2⩾0>-2$, при любом $a$ точка $-2$ лежит левее точки $a^2$, поэтому модули раскрываются на трёх промежутках одинаково при всех $a$.

При $x⩽-2$ оба подмодульных выражения неположительны:

$$|x-a^2|+|x+2|=a^2-x-x-2=-2x+a^2-2.$$

При $-2<x<a^2$ первое выражение отрицательно, а второе положительно:

$$|x-a^2|+|x+2|=a^2-x+x+2=a^2+2.$$

При $x⩾a^2$ оба выражения неотрицательны:

$$|x-a^2|+|x+2|=x-a^2+x+2=2x-a^2+2.$$

Значит, функция $g(x)=|x-a^2|+|x+2|$ на луче $(-\infty ;-2]$ убывает от $+\infty$ до $a^2+2$, на отрезке $[-2;a^2]$ постоянна и равна $a^2+2$, а на луче $[a^2;+\infty )$ возрастает от $a^2+2$ до $+\infty$. Её график — «корыто» с горизонтальным дном на высоте $a^2+2$.

Отсюда получаем:

• если $y>a^2+2$, уравнение $g(x)=y$ имеет ровно два решения — по одному на каждом из боковых лучей;
• если $y=a^2+2$, решений бесконечно много — подходит любое $x$ из отрезка $[-2;a^2]$, длина которого $a^2+2>0$;
• если $y<a^2+2$, решений нет.

Каждому $x$ соответствует одно значение $g(x)$, поэтому разные корни $y$ дают разные решения $x$, и число решений исходного уравнения равно сумме чисел решений по всем корням $y$.

Пусть $f(y)=y^2-11y+2a^2+24$. Исходное уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда уравнение $f(y)=0$ имеет ровно один корень, больший $a^2+2$, и не имеет корня, равного $a^2+2$ (иначе решений бесконечно много). Корни, меньшие $a^2+2$, решений не дают, а два корня, больших $a^2+2$, дали бы четыре решения. Поэтому подходят ровно два случая:

1. уравнение $f(y)=0$ имеет два корня и $y_1<a^2+2<y_2$;

2. уравнение $f(y)=0$ имеет единственный корень $y_0$, и $y_0>a^2+2$.

Случай 1. График $f$ — парабола с ветвями вверх. Число $a^2+2$ лежит строго между её корнями тогда и только тогда, когда $f\left(a^2+2\right)<0$: в этой точке парабола ниже оси, значит, корней два и они по разные стороны от неё (дискриминант при этом автоматически положителен).

Вычислим значение:

$$f\left(a^2+2\right)={\left(a^2+2\right)}^2-11\left(a^2+2\right)+2a^2+24=a^4+4a^2+4-11a^2-22+2a^2+24=a^4-5a^2+6.$$

Решим неравенство, разложив левую часть на множители как квадратный трёхчлен относительно $a^2$:

$$a^4-5a^2+6<0\iff \left(a^2-2\right)\left(a^2-3\right)<0\iff \left(a+\sqrt{3}\right)\left(a+\sqrt{2}\right)\left(a-\sqrt{2}\right)\left(a-\sqrt{3}\right)<0.$$

Методом интервалов:

Получаем $a\in \left(-\sqrt{3};-\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2};\sqrt{3}\right)$. Граничные значения $a=\pm \sqrt{2}$ и $a=\pm \sqrt{3}$ не подходят: при них $f\left(a^2+2\right)=0$, то есть $y=a^2+2$ — корень, и решений бесконечно много.

Случай 2. Единственный корень квадратное уравнение имеет при нулевом дискриминанте:

$$D=121-4\left(2a^2+24\right)=25-8a^2=0\iff a^2=\frac{25}{8}.$$

Тогда корень $y_0=\frac{11}{2}$, а $a^2+2=\frac{25}{8}+2=\frac{41}{8}$. Так как $\frac{11}{2}=\frac{44}{8}>\frac{41}{8}$, условие $y_0>a^2+2$ выполнено, и исходное уравнение имеет ровно два решения. Значит, подходят

$$a=\pm \sqrt{\frac{25}{8}}=\pm \frac{5}{2\sqrt{2}}=\pm \frac{5\sqrt{2}}{4}.$$

Так как $\frac{25}{8}>3$, эти значения лежат вне промежутков из случая 1.

Объединим оба случая:

Ответ: $a\in \left(-\sqrt{3};-\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2};\sqrt{3}\right)\cup \left\{-\frac{5\sqrt{2}}{4};\frac{5\sqrt{2}}{4}\right\}$.