ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Обозначим $w=(a-2)x^2+6x$. Уравнение примет вид $w^2-4w+4-a^2=0$. Первые три слагаемых образуют полный квадрат:

$$(w-2{)}^2=a^2\iff w-2=a\text{или}w-2=-a.$$

Значит, исходное уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}(a-2)x^2+6x-2-a=0,(1)\\ (a-2)x^2+6x-2+a=0.(2)\end{array}$$

Число решений исходного уравнения — число различных корней, которые дают уравнения $(1)$ и $(2)$ вместе.

Случай $a=2$. Оба уравнения линейные: $(1)$ $6x-4=0$, $x=\frac{2}{3}$; $(2)$ $6x=0$, $x=0$. Ровно два решения — подходит.

Случай $a=0$. Уравнения $(1)$ и $(2)$ совпадают: $-2x^2+6x-2=0$, то есть $x^2-3x+1=0$. Дискриминант $9-4=5>0$, корни $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$. Ровно два решения — подходит.

Случай $a\ne 0$, $a\ne 2$. Оба уравнения квадратные. У них одинаковые коэффициенты при $x^2$ и при $x$, а свободные члены разные: их разность $(-2-a)-(-2+a)=-2a\ne 0$. Поэтому общих корней нет: если бы число $x$ было корнем обоих уравнений, то, вычтя одно из другого, мы получили бы $-2a=0$. Значит, общее число решений равно сумме чисел корней уравнений $(1)$ и $(2)$.

Найдём четверти дискриминантов:

$$\frac{D_1}{4}=9+(a-2)(a+2)=a^2+5,\frac{D_2}{4}=9-(a-2)(a-2)=9-(a-2{)}^2.$$

Так как $a^2+5>0$ при любом $a$, уравнение $(1)$ всегда имеет два различных корня. Чтобы решений было ровно два, уравнение $(2)$ не должно иметь корней:

$$9-(a-2{)}^2<0;(a-2{)}^2>9;|a-2|>3;[\begin{array}{l}a<-1,\\ a>5.\end{array}$$

Эти значения удовлетворяют условию $a\ne 0$, $a\ne 2$. При $a=-1$ и $a=5$ уравнение $(2)$ имеет один корень, и решений три. При остальных $a$ из промежутка $(-1;5)$ — два корня, и решений четыре.

Объединим найденные значения:

Ответ: $a\in (-\infty ;-1)\cup \{0;2\}\cup (5;+\infty )$.