ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $u=x^2$, $v=x+a$. Уравнение примет вид

$$(u+v{)}^2=2u^2+2v^2.$$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

$$u^2+2uv+v^2=2u^2+2v^2;u^2-2uv+v^2=0;(u-v{)}^2=0.$$

Квадрат равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю: $u=v$. Вернёмся к $x$:

$$x^2=x+a\iff a=x^2-x.$$

Переход равносильный, поэтому число корней исходного уравнения на отрезке $[0;2]$ равно числу корней уравнения $x^2-x=a$ на этом отрезке.

Исследуем функцию $g(x)=x^2-x$ на отрезке $[0;2]$. Её график — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке

$$x_{\text{в}}=\frac{1}{2},g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}.$$

На отрезке $\left[0;\frac{1}{2}\right]$ функция убывает от $g(0)=0$ до $-\frac{1}{4}$, на отрезке $\left[\frac{1}{2};2\right]$ возрастает от $-\frac{1}{4}$ до $g(2)=4-2=2$. Отметим ещё $g(1)=0$.

На плоскости $(x;a)$ число корней — это число точек пересечения графика $a=x^2-x$, $0⩽x⩽2$, с горизонтальной прямой на высоте $a$. Отметим положения прямой и подпишем количество решений.

Каждое значение на каждом участке монотонности функция принимает не больше одного раза. Разберём положения прямой.

При $a<-\frac{1}{4}$ прямая проходит ниже вершины — корней нет.

При $a=-\frac{1}{4}$ (положение I) прямая проходит через вершину $\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right)$ — корень один, $x=\frac{1}{2}$. Подходит.

При $-\frac{1}{4}<a⩽0$ значение $a$ принимается один раз на $\left[0;\frac{1}{2}\right)$ и один раз на $\left(\frac{1}{2};1\right]$ — корней два. Положение II, $a=0$, — это прямая через точки $(0;0)$ и $(1;0)$: корни $x=0$ и $x=1$, тоже два. Не подходит.

При $0<a⩽2$ на убывающем участке значения не больше нуля, поэтому значение $a$ принимается только на возрастающем участке, при $1<x⩽2$ — корень один. Граничное положение III, $a=2$, — прямая через конец графика $(2;2)$, корень $x=2$ ещё входит в отрезок. Подходит.

При $a>2$ прямая проходит выше графика — корней нет.

Ответ: $a\in \{-0,25\}\cup (0;2]$.