ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $b=a-3$. Уравнение примет вид

$$x^4+b^2=|x-b|+|x+b|.$$

Правая часть. Если $|x|⩾|b|$, то числа $x-b$ и $x+b$ одного знака с $x$ (или равны нулю), и сумма модулей равна $|(x-b)+(x+b)|=2|x|$. Если $|x|⩽|b|$, то эти числа разных знаков (или одно из них равно нулю), и сумма модулей равна $|(x+b)-(x-b)|=2|b|$. Итак,

$$|x-b|+|x+b|=\{\begin{array}{ll}2|b|,& |x|⩽|b|,\\ 2|x|,& |x|⩾|b|.\end{array}$$

Симметрия. Если заменить $x$ на $-x$, уравнение не изменится: $(-x{)}^4=x^4$, а $|-x-b|+|-x+b|=|x+b|+|x-b|$. Значит, если $x_0$ — корень, то и $-x_0$ — корень. При $x_0\ne 0$ это два разных корня. Поэтому уравнение не имеет решений или имеет единственное решение тогда и только тогда, когда у него нет корней, отличных от нуля.

Обозначим $s=|b|⩾0$ и разберём случаи.

$s=0$. Уравнение $x^4=2|x|$, то есть $|x|\left(|x{|}^3-2\right)=0$. Корни $x=0$ и $x=\pm \sqrt[3]{2}$ — их три. Не подходит.

$0<s<2$. Рассмотрим функцию $F(x)=x^4+s^2-(|x-b|+|x+b|)$, она непрерывна. В нуле $F(0)=s^2-2s=s(s-2)<0$. При $x=2>s$ правая часть равна $2\cdot 2=4$, поэтому $F(2)=16+s^2-4>0$. Непрерывная функция меняет знак на отрезке $[0;2]$, значит, у неё есть корень $x_0\in (0;2)$. Вместе с ним корнем является $-x_0$, и корней не меньше двух. Не подходит.

$s=2$. При $|x|⩽2$ уравнение принимает вид $x^4+4=4$, то есть $x=0$. При $|x|>2$ получаем $x^4+4=2|x|$, но $x^4=|x{|}^3\cdot |x|>8|x|>2|x|$, поэтому левая часть больше правой и корней нет. Корень единственный: $x=0$. Подходит.

$s>2$. При $|x|⩽s$ левая часть $x^4+s^2⩾s^2>2s$ (так как $s>2$), а правая равна $2s$ — корней нет. При $|x|>s>2$ имеем $x^4>8|x|>2|x|$, левая часть больше правой — корней тоже нет. Уравнение не имеет решений. Подходит.

Итак, условие задачи выполнено ровно при $|b|⩾2$:

$$|a-3|⩾2\iff [\begin{array}{l}a-3⩽-2,\\ a-3⩾2\end{array}\iff [\begin{array}{l}a⩽1,\\ a⩾5.\end{array}$$

Ответ: $a\in (-\infty ;1]\cup [5;+\infty )$.