ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — рациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, то есть $x\ne -2$ и $x\ne a$.

Перенесём $1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю $(x+2)(x-a)$:

$$\frac{(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)-(x+2)(x-a)}{(x+2)(x-a)}=0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x-2a)(x-a)=x^2-3ax+2a^2,(x-1)(x+2)=x^2+x-2,(x+2)(x-a)=x^2+(2-a)x-2a.$$

Тогда числитель равен

$$x^2-3ax+2a^2+x^2+x-2-x^2-(2-a)x+2a=x^2-(2a+1)x+2a^2+2a-2.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Значит, уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-(2a+1)x+2a^2+2a-2=0,\\ x\ne -2,\\ x\ne a.\end{array}$$

Обозначим $q(x)=x^2-(2a+1)x+2a^2+2a-2$. Выясним, при каких $a$ запрещённые числа $x=a$ и $x=-2$ являются корнями числителя.

$x=a$:

$$q(a)=a^2-(2a+1)a+2a^2+2a-2=a^2+a-2=(a+2)(a-1).$$

Число $a$ — корень числителя при $a=1$ и при $a=-2$.

$x=-2$:

$$q(-2)=4+2(2a+1)+2a^2+2a-2=2a^2+6a+4=2(a+1)(a+2).$$

Число $-2$ — корень числителя при $a=-1$ и при $a=-2$. При $a=-2$ запрещённые числа $a$ и $-2$ совпадают.

Найдём дискриминант числителя:

$$D=(2a+1{)}^2-4(2a^2+2a-2)=4a^2+4a+1-8a^2-8a+8=-4a^2-4a+9.$$

Исходное уравнение имеет ровно один корень в двух случаях.

Случай 1: числитель имеет ровно один корень, и он входит в ОДЗ. Это бывает при $D=0$:

$$4a^2+4a-9=0;a=\frac{-4\pm \sqrt{16+144}}{8}=\frac{-4\pm 4\sqrt{10}}{8}=\frac{-1\pm \sqrt{10}}{2}.$$

Кратный корень равен $x=\frac{2a+1}{2}=a+\frac{1}{2}$. Он не равен $a$, а равенство $a+\frac{1}{2}=-2$ означало бы $a=-\frac{5}{2}$. Ни одно из найденных значений не равно $-\frac{5}{2}$: значение $\frac{-1+\sqrt{10}}{2}$ положительно, а $\frac{-1-\sqrt{10}}{2}>\frac{-1-4}{2}=-\frac{5}{2}$, так как $\sqrt{10}<4$. Значит, при $a=\frac{-1\pm \sqrt{10}}{2}$ корень ровно один — оба значения подходят.

Случай 2: числитель имеет два различных корня, и ровно один из них не входит в ОДЗ. Это возможно, только если одно из чисел $a$ или $-2$ — корень числителя, то есть при $a\in \{1;-1;-2\}$. Проверим каждое значение.

При $a=1$: $q(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, корни $1$ и $2$. Корень $x=1=a$ не входит в ОДЗ, корень $x=2$ входит. Корень один — подходит.

При $a=-1$: $q(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, корни $-2$ и $1$. Корень $x=-2$ не входит в ОДЗ, корень $x=1\ne a$ входит. Корень один — подходит.

При $a=-2$: $q(x)=x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$, корни $-2$ и $-1$. Корень $x=-2$ не входит в ОДЗ, корень $x=-1$ входит. Корень один — подходит.

При остальных $a$ с $D>0$ оба корня числителя входят в ОДЗ, и корней два. При $D<0$ корней нет. Оба корня сразу выпасть не могут: для этого корнями числителя должны быть два разных числа $a$ и $-2$, а это требует $a\in \{1;-2\}$ и $a\in \{-1;-2\}$ одновременно, то есть $a=-2$, когда эти числа совпадают.

Ответ: $a\in \left\{\frac{-1-\sqrt{10}}{2};-2;-1;1;\frac{-1+\sqrt{10}}{2}\right\}$.