ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим левую часть $f(x)=|x+2a+6|+|x-2a-14|$, а правую — $g(x)=4|x|+4|x-4|$. Неравенство $f(x)⩽g(x)$ должно выполняться при всех $x$, то есть график $f$ должен целиком лежать не выше графика $g$. Построим оба графика в осях $xOy$.

Функция $g$. Модули обнуляются при $x=0$ и $x=4$. Раскроем их на трёх промежутках:

при $x<0$: $g(x)=-4x-4(x-4)=-8x+16$;

при $0⩽x⩽4$: $g(x)=4x-4(x-4)=16$;

при $x>4$: $g(x)=4x+4(x-4)=8x-16$.

Это «корыто» с ветвями вверх, его дно — отрезок прямой $y=16$ при $0⩽x⩽4$. Наименьшее значение $g$ равно $16$.

Функция $f$. Модули обнуляются при $x=-2a-6$ и $x=2a+14$. Сумма этих чисел равна $8$, поэтому середина отрезка между ними — всегда точка $x=4$. Первое число не больше второго, если $-2a-6⩽2a+14$, то есть $a⩾-5$.

При $a⩾-5$:

при $x<-2a-6$: $f(x)=-(x+2a+6)-(x-2a-14)=-2x+8$;

при $-2a-6⩽x⩽2a+14$: $f(x)=(x+2a+6)-(x-2a-14)=4a+20$;

при $x>2a+14$: $f(x)=(x+2a+6)+(x-2a-14)=2x-8$.

При $a<-5$ точки меняются местами:

при $x<2a+14$: $f(x)=-2x+8$;

при $2a+14⩽x⩽-2a-6$: $f(x)=-(x+2a+6)+(x-2a-14)=-4a-20$;

при $x>-2a-6$: $f(x)=2x-8$.

В обоих случаях график $f$ — тоже «корыто». Его ветви лежат на фиксированных прямых $y=-2x+8$ и $y=2x-8$, то есть на графике $y=|2x-8|$. Дно лежит на высоте $|4a+20|$ (при $a⩾-5$ это $4a+20$, при $a<-5$ это $-4a-20$) и всегда содержит точку $x=4$. При изменении $a$ дно поднимается или опускается, а его концы скользят по прямым $y=\pm (2x-8)$.

Изобразим $g$ (жирная линия), граничное положение $f$ с дном на высоте $16$ (пунктир) и положение $f$ при $a=-3$ с дном на высоте $8$ (тонкая линия).

Ветви $f$ не выше $g$. На ветвях $f(x)=|2x-8|$. Для любого $x$

$$g(x)=4|x|+4|x-4|⩾4|x-4|⩾2|x-4|=|2x-8|,$$

поэтому ветви $f$ никогда не поднимаются выше графика $g$.

Условие на дно. Необходимость: в точке $x=4$, которая всегда лежит на дне, $f(4)=|4a+20|$, а $g(4)=16$. Значит, нужно $|4a+20|⩽16$. Достаточность: если $|4a+20|⩽16$, то на дне $f(x)=|4a+20|⩽16⩽g(x)$, а на ветвях $f(x)⩽g(x)$ по доказанному. Итак, неравенство верно при всех $x$ тогда и только тогда, когда дно графика $f$ не выше дна графика $g$.

Решим это условие отдельно в двух случаях, как раскрывали модули.

При $a⩾-5$: $4a+20⩽16$, $4a⩽-4$, $a⩽-1$. С учётом случая $a\in [-5;-1]$.

При $a<-5$: $-4a-20⩽16$, $-4a⩽36$, $a⩾-9$. С учётом случая $a\in [-9;-5)$.

Объединим оба случая:

Ответ: $a\in [-9;-1]$.