ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $\sqrt{A}=\sqrt{B}$ равносильно системе $A=B$, $A⩾0$: если подкоренные выражения равны и одно из них неотрицательно, то неотрицательно и второе. Получаем систему

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-a^2=3x^2-(3a+1)x+a,\\ x^2-a^2⩾0.\end{array}$$

Разложим обе части уравнения на множители. Левая часть — разность квадратов: $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$. В правой части сгруппируем слагаемые:

$$3x^2-3ax-x+a=3x(x-a)-(x-a)=(x-a)(3x-1).$$

Тогда

$$(x-a)(x+a)=(x-a)(3x-1);$$

$$(x-a)((x+a)-(3x-1))=0;$$

$$(x-a)(a+1-2x)=0.$$

Получаем два возможных корня:

$$x_1=a,x_2=\frac{a+1}{2}.$$

Назовём число подходящим, если оно удовлетворяет неравенству системы $(x-a)(x+a)⩾0$ и лежит на отрезке $[0;1]$. Нам нужны случаи, когда числа $x_1$ и $x_2$ различны и ровно одно из них подходящее, или когда они совпадают и это общее число подходящее.

Число $x_1=a$. Неравенство: $(a-a)(a+a)=0⩾0$ — верно при любом $a$. На отрезке $[0;1]$ число лежит при $0⩽a⩽1$. Значит, $x_1$ подходящее при $a\in [0;1]$.

Число $x_2=\frac{a+1}{2}$. Неравенство:

$$\left(\frac{a+1}{2}-a\right)\left(\frac{a+1}{2}+a\right)⩾0;\frac{1-a}{2}\cdot \frac{3a+1}{2}⩾0;(1-a)(3a+1)⩾0.$$

Получаем $-\frac{1}{3}⩽a⩽1$. Условие $0⩽\frac{a+1}{2}⩽1$ равносильно $0⩽a+1⩽2$, то есть $-1⩽a⩽1$. Пересечение: $x_2$ подходящее при $a\in \left[-\frac{1}{3};1\right]$.

Совпадение. $a=\frac{a+1}{2}$ при $2a=a+1$, то есть при $a=1$. При $a=1$ оба числа равны $1$, и это число подходящее.

Разберём все ситуации.

$x_1$ подходит, $x_2$ не подходит: $a\in [0;1]$ и $a\notin \left[-\frac{1}{3};1\right]$ — таких $a$ нет, так как $[0;1]$ целиком лежит в $\left[-\frac{1}{3};1\right]$.

$x_1$ не подходит, $x_2$ подходит: $a\notin [0;1]$ и $a\in \left[-\frac{1}{3};1\right]$, то есть $-\frac{1}{3}⩽a<0$. Корни здесь различны ($a\ne 1$), корень на отрезке ровно один.

Оба подходят: $0⩽a⩽1$. Корень один только при совпадении, то есть при $a=1$. При $0⩽a<1$ корней на отрезке два.

Если не подходит ни одно число, корней на отрезке нет.

Ответ: $a\in \left[-\frac{1}{3};0\right)\cup \{1\}$.